Равенство нулю равнодействующей – необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил

Соответственно двум способам определения равнодействующей условие равновесия плоской системы сходящихся сил может быть выражено в двух формах.

1) Условие равновесия в геометрической форме. Геометрически равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного на этих силах. Если равнодействующая равна нулю, то нужно, чтобы равнялась нулю и замыкающая сторона и, следовательно, силовой многоугольник замыкался сам по себе. С другой стороны, замыкание силового многоугольника означает, что равнодействующая сходящихся сил равна нулю. Отсюда получается следующее условие: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, был замкнут.

На рис. 1.2.8. построен замкнутый силовой многоугольник для находящейся в равновесии плоской системы сил . Необходимо заметить, что в замкнутом силовом многоугольнике конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой, а стрелки векторов всех сил указывают одну и ту же сторону обхода периметра многоугольника.

2) Условие равновесия в аналитической форме. Условием равновесия системы сходящихся сил является равенство нулю модуля равнодействующей (), т. е. проекции () равнодействующей силы на оси координат (на каждую из двух любых взаимно перпендикулярных осей) должны быть равны нулю. Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равновесия этих сил:

и . (1.2.6.)

Таким образом, для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из двух любых взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости действия сил.

1.2.5. Разложить силу на составляющие – это значит найти такую систему двух или нескольких сил, которая бы производила на тело то же самое действие, что и одна данная сила. Другими словами, разложить силу, например, на две составляющие – это значит найти такие две силы, равнодействующая которых была бы равна данной силе. Решений у такой задачи может быть сколько угодно много. Чтобы решение было определённым, необходимо задать дополнительные условия, например: 1) задание двух направлений, по которым должны действовать составляющие; 2) задание модуля и направления одной из составляющих сил; 3) задание модуля обеих составляющих; 4) задание модуля одной составляющей силы и направления другой.

Рассмотрим первый, наиболее часто встречающиеся, случай. Данную силу требуется разложить на две сходящиеся составляющие силы, направления которых ОМ и ON заданы (рис. 1.2.9.)

Для решения задачи из конца А вектора силы проводим прямые АВ и АС, соответственно параллельно прямым ОN и ОМ. Получается параллелограмм OABC, для которого сила является диагональю. Векторы и дают в том же масштабе, что и заданная сила , искомые составляющие и .

Вопросы для самопроверки.

1. Какая система сил называется сходящейся?

2. Что называется замыкающей стороной силового многоугольника? О чём свидетельствует равенство её нулю?

3. Сформулируйте условие равновесия плоской сходящейся системы сил в аналитичесой форме.

4. Достаточно ли данных, чтобы разложить заданную по величине и направлению силу на две составляющих, из которых одна задана по величине, а другая по направлению?