Генеральный коэффициент корреляции

Допустим, что при изменении х условное матема­тическое ожидание M(Y/X=x) изменяется по линейному за­кону, т. е. функция регрессии φ(х) = М(Y/X=x) линейная:

Найдем для этого случая сначала выражение для параметров а и b линейной функции регрессии, а затем выражение для корреляционного отношения. При этом договоримся используемые обозначения снабжать индексом «лин», что означает «при условии линейной функции регрессии».

Выражения для параметров а и b и линейной функции регрессии

Обратимся к формуле условной дисперсии. В случае линейной функции регрессии формула принимает вид

(47)

Напомним, в общем случае при изменении х условная дисперсия D^лин(Y/X=x) изменяется. Найдем характеристику разброса «игреков», вызванного влиянием на Yостаточ­ных факторов, она примет вид

(48)

— эта величина при фиксированных значениях параметров а и bявляется постоянной.

Принимая во внимание свойство минимальности дисперсии, значения параметре а и bнаходят из условия

(49)

Окончательный результат такой:

(50)

(51)

гдеm_X=M(X), m_y=M(Y),

Отметим, что выражение

(52)

называют генеральным корреляционным моментом, а

(53)

генеральным коэффициентом корреляции.

Подставив найденные значения параметров а и bв линей­ную функцию регрессии М^лин (Y/X=x) = a+bx, получим

(54)