Лемма Пусть f(z) C
(|z|>R0
Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z| 1+ d , d >0. Тогда
f(x =0.
(C'R - полуокружность |z|=R Imz>0).
Замечания.
1. Если условия Леммы 18.1 выполнены при j 1<arg z< j 2, то f(x)d x =0.
(C'R - дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R (j 1<arg z< j 2))
2. Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z , которая является нулем не ниже второго порядка для f(z).
Теорема. Пусть f(x) задана при - <x<
и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z
0, имеющее конечное число изолированных особых точек z n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы. Тогда $ несобственный интеграл I-го рода
f(x)dx=2 p i
Выч[f(z),z n].
Пример. ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
f(z)dz=
f(z)dz+
f(x)d x +
f(z)dz.При R
второе слагаемое
0
(по Замечанию 1 к Лемме). В третьем слагаемом z=xe i2 p /n (f(xe i2 p /n)=f(x)). Устремив R
, получим
f(x)dx-ei2 p /n
f(x)dx= (1-ei2 p /n)
f(x)dx=-2 p i/(ne-i p /n) =>
f(x)dx=-2 p i/[(ne-i p /n) (1-ei2 p /n)]= p /(n sin p /n).
|
|
Лемма (Жордана). Если f(z) C
(|z|>R0
Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z|
(равномерно по arg z,
0 arg z
p), z
Imz>0, то при a>0
eia x f(x)d x =0, C'R - полуокружность
|z|=R Imz>0.
Теорема Пусть f(x) задана при - <x<
и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z
0, имеющее конечное число изолированных особых точек z n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана. Тогда $
eiaxf(x)dx=2 p i
Выч[e iazf(z),zn ], где z n - изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z
0.
Пример. (k>0, a>0)=
=
== Re p iВыч[
,ia] =(z0 = ia -полюс 1-порядка)= Re p i(e-ka/2ia)= p e-ka/2a.
Определение. Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Некоторые интегралы
1. =sign(a) p /2
2. I= , 0<a<1; I=
Выч[z a-1f(z),zk]
3. I= , 0<a<1; I=
Выч[z a-1(1-z)-af(z),zk], a0=
f(z).
4. I= f(x)ln(x)dx= p i
Выч[f(z)(lnz-i p /2),zk]
Пусть f(z) C
(
\z1,:zN), zn- полюса и f(x)÷ x
0. Тогда " x
- правильная и $ f(x)÷ x
.
Определение. Функция j (z)=f'(z)/f(z)=[ln f(z)]' называется логарифмической производной функции f(z).
Вычеты j (z) в ее особых точках zn называются логарифмическими вычетами.
Особыми точками j (z) будут нули z0k и полюса zk функции f(z). Как считать вычеты?
a) Пусть z0k - нуль порядка n функции f(z); => f(z)=(z-z0k)nf1(z), f1(z0k) 0 =>
=> j (z)=n/(z-z0k)+f'1(z)/f1(z) => Выч[j (z),z0k]=n.
b) Пусть zk - полюс порядка p функции f(z);=> f(z)=y (z)/(z-zk)p , y (zk) 0 =>
=> j (z)=-p/(z-zk)+ y '(z)/y (z) => Выч[j (z),zk]=-p.
Теорема Если f(z) C
(
\z1,:zN), zn- полюса и f(x)÷ x
0, то
=N-P, где N- полное число нулей f(z) с учетом кратности, P- полное число полюсов f(z) с учетом кратности.
Принцип аргумента. Разность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в области g определяется числом оборотов, которое совершает очка w=f(z) вокруг точки w=0, при положительном обходе точкой z контура .
|
|
Теорема Руше Если f(z), j (z) C
(
) и |f(z)|
>|j (z)|
, то N[f+j ]g=N[f]g.
Основная теорема высшей алгебры. Полином n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).