Критерий разложения группы в прямое произведение двух групп
Пусть даны две абстрактные группы < А, ∙> и < В, *>. Построим с помощью этих групп новую группу. Для этого нам нужно указать элементы новой группы и групповую операцию. Пусть элементами новой группы будут пары элементов (а, b), где a А, b В, то есть множеством - носителем новой группы будет декартово произведение
А × В= {(а, b) | а А, b В }.
Операцию на множестве А × В определим так:
(а, b),(с, d) А × В (a, b) (c, d) = (a ∙ с, b * d),
то есть над первыми компонентами пары производится операция, заданная в группе < А, ∙ >, а над вторыми - операция, заданная в группе < В, *>.
Теорема 2. 2. 1. < А × В, > - группа.
Доказательство. Очевидно, что определенная нами операция является бинарной алгебраической на А × В. Проверим выполнение аксиом группы на множестве А × В.
1) (ассоциативность) (а, b), (с, d), (t, f) A × В ((а, b) (с, d)) (t, f) = = (а ∙ с, b * d) (t, f) = ((а ∙ с)∙ t, (b* d) *f) = (а ∙(с ∙ t), b * (d *f)) = (a, b)
(с ∙ t) ,d*f) = (а, b) ((с, d) (t, f)).
2) (наличие нейтрального элемента) ( (еА, еB) А × В)( (a, b) А × В)(е А, ен) (а, b) = (а, b) (е A, еB) = (а, b).
|
|
3) (наличие симметричного элемента) (а, b) А × В (а ', b ') А × В (а, b) (а ', b ') = (а ', b ') (а, b) = (еА, еB). Здесь а' - элемент симметричный к а в группе А; b ' - элемент симметричный к b в группе В.
Из выше сказанного следует, что < А × В, > является группой по определению.
Определение 2. 2. 1. Группа G = < А × В, > называется внешним прямым произведением групп < А, ∙ > и < В, *> и обозначается G = А В.
Замечание. Если группы < А, ∙ > и < В, *> - аддитивные, то говорят о прямой сумме, то есть G =А В.
Пример 1. Найдем прямую сумму двух групп < R, +> и < R, +>.
R 2 = R × R = {(a, b) | а R, b R } = R R
(а, b) (с, d) = (а + с, b + d), то есть R 2 - аддитивная группа двумерных арифметических векторов.
2. Поле комплексных чисел является прямой суммой двух абелевых групп А = < R, +> и В = < Ri,+>; С = R Ri; (a, bi) (с, di) = (а + с, (b + d) i).
Замечание. Вгруппе G = А В можно выделить две подгруппы:
G1 = < A × { еB }, ∙ >, где A ×{ eB } = {(a, eB)| a A, е B В } и G2 = <{ еA } × В, ∙ >, где { еA } × В = {(еA, b) | еА А, b В }. Зададим отображения:
: А G 1 :а (а, е B) и :В G 2,: : b (е A, b).
Легко проверить, что отображение является изоморфным отображением группы А на G 1, а отображение - изоморфизмом группы В на G 2.
Следовательно, группа G = А В будет содержать подгруппы G 1; и G 2, изоморфные А и В, т.е. A G 1, В G 2.
Теорема 2. 2. 2. В группе G= А В подгруппы G 1 и G 2 являются нормальными делителями, причем G 1 G 2 = { еG }.
Доказательство. 1. Покажем, что подгруппы G 1 и G 2 замкнуты относительно взятия сопряженных элементов.
(a, eB) G 1 (c, d) G (с, d)(a, еB)(с, d)-1 = (са, d)(c -1, d -1)= (сас -1, ев) G 1
G 1 G.
Аналогично:
|
|
(eA,b) G 2 (c, d) G (с, d)(eA,b)(с, d)-1 = (с, db)(c -1, d -1)=(eA,dbd -1) G 2 G 2 G.
2. Очевидно, что G 1 G2=(eA,eB) G, действительно, если с G 1 G 2 с G 1и с G 2 [ с = (а, еB)] и [с = (eA, b)] (а = eA) и (b = еB) c = (e A, еB)= еG G.
Теорема 2. 2. 3. Любой элемент группы G= А В однозначно представим в виде произведения g = g 1 ∙ g2, где g 1 G 1, g2 G 2, g G.
Доказательство. Действительно, любой элемент g может быть представлен в виде: g = (a, b) = (а, еB) ∙(еА, b), где (а, еB) G 1, (eA, b) G2.
Если g = (a, b) = (a', eB)(eA,b') = (a', b'), то а = a' и b = b'.
Итак, группа G порождается подгруппами G 1 и G 2, то есть G = G 1 ∙ G 2.
Замечание. Рассмотренная выше конструкция (G = А В) внешнего прямого произведения групп позволяет из двух заданных групп построить новую, более сложно устроенную группу, причем, если |А| = п, |В| = k, то | G | = пk. Понятно, что в общем случае можно рассматривать и группу
G = А А2 ... Ак.
Но если нам дана сложно устроенная группа G, то для того что бы ее разложить в прямое произведение двух других групп нам потребуется следующая теорема.
Теорема 2. 2. 4. Для того, чтобы группа G была изоморфна прямому произведению двух групп А и В, необходимо и достаточно, чтобы группа G содержала нормальные делители G 1и G 2, изоморфные, соответственно группам А и В, чтобы пересечение G 1 G 2 = { еG } и чтобы группа G порождалась нормальными делителями G 1, и G2.
Доказательство. Нужно доказать, что G А B (C 1 G) и (G 2 G) и (G 1 G 2 ={ еG }) и (G 1 A) и(C 2 B) и (G = G 1 ∙ G 2).
Необходимость указанных условий следует из теорем 2.2.2 и 2.2.3, докажем достаточность, то есть если (C 1 G) и (C 2 G) и (G 1 G 2 ={ еG }) и (G 1 A) и (C 2 B) и (G = G 1 ∙ G 2), то Gбудет изоморфна А B.
Сначала докажем, что если две нормальных подгруппы G 1 и G 2 группы G пересекаются по { еG } то они поэлементно перестановочны, то есть (h 1 G 1) (h 2 G 2)[ h 1 ∙ h2 = h2 ∙ h 1] Действительно, рассмотрим элемент
c = h 1 ∙ h2 ∙ h 1-1∙ h2 -1. Если в этой записи скобки расставить так: c = (h 1∙ h2 ∙ h 1-1)∙ h2,то видно, что элемент с принадлежит группе G2 (G 2 G).
Аналогично, записав элемент с в виде: c = h 1 ∙ (h2 ∙ h 1-1∙ h2 -1), видим, что с G1 (G 1 G). Таким образом, G 1 G 2, а так как G 1 G 2={ e G}, то c = h 1 ∙(h2 ∙ h 1-1∙ h2 -1)= еG h 1 ∙ h2 = h 2 ∙ h 1. По условию теоремы дано, что группа G порождается своими нормальными делителями G 1 и G 2, это означает, с учетом доказанной перестановочности G 1 и G 2, что каждый g G представим в виде произведения g = g 1 ∙ g2, где g 1 G 1, g2 G 2, то есть G = G 1 ∙ G 2. Покажем, что это представление однозначно. Предположим противное. Пусть g = g 1 ∙ g2, и g = с 1 ∙ с2, где g 1 c 1 G 1, g 2, c 2 G 2, тогда
g 1∙ g2=с 1∙ с2 c 1-1∙ g 1 =c 2∙ g 2-1 G 1 G 2 c 1-1∙ g 1= c 2∙ g 1-= eG
Зададим теперь отображение : G A B которое любому элементу g G равному g = g 1 ∙ g 2, где g 1 G 1, g 2 G 2 ставит в соответствие пару (g 1, g2) A x В, то есть : g (g 1, g2). Это отображение будет изоморфизмом.
Действительно: а) сюръективность отображения очевидна, так как
(g 1, g2) A B (g = g 1 ∙ g2) G: (g)= (g 1∙ g2).
б) докажем инъективность отображения : a, b G,(a = a l a2)и(b = b 1 b 2),если (а)= (b),то(а 1, а 2)=(b 1, b 2) (а 1= b 1 ) и (а 2 = b 2) (а = b).
Проверим, что отображение гомоморфно. В силу поэлементной перестановочности групп G 1 и G 2 имеем:
a, b G, a ∙ b = (a 1 ∙ a 2) ∙ (b 1 ∙ b 2) = (a 1 ∙ b 1) ∙ (а 2 ∙ b 2).
Итак, мы разложили группу G в прямое произведение своих нормальных подгрупп G 1 и G 2. При этом, каждый элемент группы G однозначно представим в виде произведения g 1 ∙ g2, где g 1 G 1, g 2 G 2, а операция умножения определяется по правилу: а ∙ b = (a 1 ∙ b 1) ∙ (а 2 ∙ b 2).
В этом случае говорят о внутреннем прямом произведении нормальных подгрупп G 1 и G 2 группы G.
Замечание. Отличие внутреннего произведения от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группы, а не их изоморфные образы.
Разумеется, внешнее прямое произведение А = А В является также внутренним произведением подгрупп А { еB },{ еA } В, и при некотором навыке можно не делать различия между ними, употребляя сокращенное словосочетание «прямое произведение».
|
|
Проиллюстрируем на примере последнюю теорему
Пример. Группа Клейна разлагается во внутреннее прямое произведение двух циклических подгрупп второго порядка:
Н 4 = { , (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1,4)(2, 3)} = ((1, 2)(3, 4)) ((1, 3)(2, 4)).
Действительно, обозначим, G 1 = { , (12)(34)}, G 2 = { , (13)(24)}.
1. Подгруппы G 1 и G 2 являются нормальными подгруппами группы Н 4.
(Н 4: G 1) = 2, (Н 4: G 2) = 2. А известно, что подгруппы индекса 2 являются нормальными т.е., G 1 H 4 и G 2 Н 4.
2. Пересечение данных подгрупп состоит только из тождественной подстановки G 1 G 2 = { ,(1, 2)(3, 4)} { , (1, 3)(2,4)} = { }
3. Группа Н4 порождается подгруппами G 1и G 2, подстановки (1, 2)(3, 4) и (1, 3)(2,4) является образующими элементами группы Н 4:
((1,2)(3,4))1=(1,2)(3,4),
((1, 2)(3, 4))2= (1, 2)(3, 4)(1, 2)(3, 4) = (1)(2)(З)(4)=
((1, 3)(2, 4))1 = (1, 3)(2, 4), ((1, 3)(2, 4)) 2 = (1, 3)(2,4)(1, 3)(2, 4) =
(1,2)(3, 4)(1, 3)(2,4) = (1, 3)(2, 4)(1, 2)(3, 4) = (1,4)(2, 3), ((1, 4)(2, З))2 =
Получаем Н 4 = { , (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}.
Таким образом, группа Н 4 порождается подгруппами G 1и G 2, т.е.
Н 4 = ((1, 2)(3, 4)) ∙ ((1, 3) ∙ (2, 4)) = G 1∙ С 2
Все требования теоремы 2.2.4 выполняются, следовательно, группа Клейна разлагается в прямое произведение двух своих подгрупп второго порядка (Н 4 = G 1 G 2).
Замечание. Для всякой группы G существует тривиальное разложение в прямое произведение нормальных делителей { eG } и G.
Рассмотренный ранее пример показывает, что прямое произведение двух конечных циклических групп не обязательно является циклической группой. В следующей теореме формулируются необходимые и достаточные условия, при выполнении которых когда прямое произведение двух конечных циклических групп само является циклической группой.
Теорема 2. 2. 5. Для того, чтобы прямое произведение двух конечных циклических групп порядков т и п было циклической группой, необходимо и достаточно, чтобы числа т и п были взаимно простыми.
Доказательство. Пусть даны циклические группы (а) и (b) порядков т и п соответственно. Докажем сначала необходимость. Предположим, что (а) (b) - циклическая группа с образующим (аs, bt). Тогда (аs, bt) i = (а, еB) и (аs, bt)j = (еА, b) для некоторых целых чисел i, j. Имеем равенства: аsi = а, bti= еB, аsj = еA, btj = b. Откуда по пункту 2) из теоремы о свойствах мультипликативной группы, числа si - 1 и sj кратны т, а числа ti и tj - 1 кратны п. Если бы числа т, п не были взаимно простыми, то у них нашелся бы общий простой делитель р. Но тогда числа si - 1 и sj и tj - 1 также делятся на р, и последовательно получаем: s не делится на р, j кратно р и 1 делится на р, что невозможно. Следовательно, НОД(т, п) =1.
|
|
Достаточность. Пусть т и п - взаимно простые числа. Тогда mu+ nv = 1 для некоторых целых чисел u, v. Покажем, что элемент (а, b)является образующим группы (а) (b).
Так как (ax, by) = (а, еB) x ∙ (еА, b) y при любых целых х и у, то достаточно убедиться, что элементы (а, еB) и (еА, b) являются целыми степенями (а, b). Учитывая равенство mu + nv = 1, получаем:
(а, b) nv = (а1-mu, bnv ) = (а, еB) и (а, b) ти = (аmu, b1-nv) = (еА, b).
Замечание. Теорема 2.2.5 имеет следующую аддитивную форму:
Zm Zn Zmn НОД (m, n) = 1.
Теорема 2. 2. 6. Существует ровно d = НОД (m, n) гомморфизмов циклической группы m -го порядка в циклическую группу n -го порядка. Каждый такой гомоморфизм определяется переводом зафиксированного образующего первой группы в один из элементов подгруппы порядка d второй группы.