Пусть функция определена и непрерывна на числовом промежутке M, - внутренняя точка этого промежутка.
Если существует такая последовательность действительных чисел , что выполняется равенство
(8)
,
то говорят, что функция в промежутке M разложена в степенной ряд с центром .
В частности, если промежуток M является интервалом, то говорят также о разложении функции в степенной ряд в окрестности точки .
Из теоремы о тождестве степенных рядов вытекает, что в случае если функция может быть разложена в степенной ряд в промежутке M, то разложение будет единственным.
Пусть функция имеет в точке производные всех порядков, то есть бесконечно дифференцируема, тогда степенной ряд
(9)
называется рядом Тейлора для функции с центром или рядом Тейлора для функции в окрестности .
Если , то ряд Тейлора называют рядом Маклорена. Ряд Маклорена имеет вид
(10)