Внутренних усилий в стержнях ферм

Фермы – это системы, работающие преимущественно на сжатие (растяжение). Поэтому из внутренних усилий в фермах определяются только продольные усилия. А остальные усилия (М,Q) настолько малы, что ими можно пренебречь.

В первую очередь определяются опорные реакции. Для определения опорных реакций ферм используются уравнения статики. Т.е. составляются три уравнения равновесия для всей фермы в целом: S М_А= 0, S М_В= 0, S Х= 0.

Для определения внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части ферм и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях (метод сечений).

Выделение частей или узлов фермы необходимо производить так, чтобы усилия в элементах определялись наиболее просто.

Различают следующие способы определения внутренних усилий в стержнях ферм: 1) способ моментной точки; 2) способ вырезания узлов; 3) способ проекций.

Способ моментной точки(СМТ). СМТ применяется в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стержня, направления осей которых не пересекаются в одной точке. Направления осей трех таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трех точках, не лежащих на одной прямой. Такие точки будут являться моментными точками для соответствующих стержней. Моментной точкой О₁ для стержня N₁ будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N₂ и N₃, попавших в сечение.(точка О₂ для стержня N₂ будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N₁ и N₃, О₃ для стержня N₃ будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N₁ и N₂).

Составляя и решая последовательно уравнения моментов всех внешних и внутренних сил, действующих на отсеченную часть фермы, относительно этих

моментных точек, получим усилия в рассеченных стержнях N₁, N₂, N₃.

Σ М_О1 = 0, V_А·(в+в) + N₁· r₁ - Р·в = 0,

Σ М_О2 = 0, -V_А· а + N₂· r₂ + Р·(а+в)= 0,

Σ М_О3 = 0, V_А· в - N₃· r₃ = 0,

СМТ удобно пользоваться при расчете ферм, когда можно провести разрез, пересекающий, кроме данного стержня (усилие в котором определяется), любое число стержне, сходящихся в одной общей точке, не лежащей на направлении оси данного стержня.

СМТ удобен также и в случаях, когда разрез пересекает более трех стержней, не сходящихся в одной точке, если усилия во всех стержнях кроме трех, уже известны.

СМТ применим для расчета таких ферм, в которых возможно провести разрезы, пересекающие любое число стержней более трех, если при этом каждый добавочный стержень пересекается дважды.

Способ вырезания узлов(СВУ). СВУ применяется при рассмотрении равновесия вырезанных узлов. Определение усилий СВУ начинается с вырезания узла, в котором сходятся не более 2-х стержней. При этом условие статического равновесия составляется в виде проекций всех сил и усилий на оси. S Х = 0, S U = 0

Σ Y = 0, V_А + N₁· sin α = 0,

Σ Х = 0, N₂ + N₁· cos α = 0,

Также можно определить внутренние усилия в стержнях ферм СВУ, вырезая узел, в котором сходится более двух стержней. При этом все усилия в узле кроме двух должны быть уже известны.

Способ проекций (СП). СП применяется при рассмотрении равновесия части фермы, как и в СМТ, когда два из трех рассеченных стержней параллельны друг другу(т.е. когда для стержня невозможно найти моментную точку). Для стержня N₂ невозможно найти моментную точку(точка находится в бесконечности), так как два параллельных стержня 1 и 3 не пересекаются. Поэтому в этом случае составляется условие равновесия отсеченной части фермы в виде суммы проекций всех сил и усилий, действующих на отсеченную часть, на ось, перпендикулярную к параллельным стержням. В данном случае на ось Y.

Каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки.

Достоинства:

Способом вырезания узлов можно рассчитать всю ферму целиком;

При расчете ферм СМТ и СП, каждое усилие определяется из уравнения с одним неизвестным, в которое входят только внешняя нагрузка и одно определяемое усилие. Поэтому в случае неправильного определения других усилий, они не повлияют на величину искомого усилия.

Также при этом не происходит нарастания погрешности

(за счет предыдущих округлений);

Недостатки:

СМТ и СП невозможно рассчитать всю ферму целиком;

При вычислениях СВУ используются значения предыдущих усилий, которые могут быть определены неправильно, поэтому возможно нарастание погрешности или возникновения ошибки.

3. Признаки нулевых и ненулевых стержней.

Кроме трех способов определения внутренних усилий в стержнях ферм, также используются признаки нулевых и ненулевых стержней для быстрого определения усилий.