2015-06-26
568
При построении этой модели штрафы, связанные с дефицитом запасов, считаются конечными, и данная модель имеет следующие особенности:
1. Спрос и пополнение запасов оцениваются на основе опытных данных.
2. Рассматривается производство и потребление дискретного продукта.
3. Распределения по времени спроса и заказов на пополнение дискретные и неравномерные.
4. Известно и постоянно время выполнения заказов.
Здесь учитываются только расходы на приобретение запасных деталей, которые могут оказаться лишними, и убытки, возникающие при их нехватке.
Пусть спрос r является случайной величиной и задан закон (ряд) распределения j(r). Тогда запасу в s деталей будут соответствовать следующие затраты: (s –r)с2, если r £ s, т.е. запас оказался чрезмерным, и (r – s)с3, если s < r, т.е. запасных деталей не хватило. Тогда среднее значение суммарных затрат (математическое ожидание) имеет вид:
C(s) = с2 
s – r) j(r) + с3 
r – s)j(r). (2.5.11)
Задача управления запасами при вероятностном спросе состоит в отыскании такого запаса s*, при котором математическое ожидание суммарных затрат (2.5.11) принимает минимальное значение.
Опуская доказательство, получаем, что значение s* должно удовлетворять неравенствам
P(s* – 1) < с3 /(с2 + с3) < P(s*), (2.5.12)
где P(s) = 
j(r) – эмпирическая функция распределения спроса (вероятность того, что спрос r £ s).
Пример 2.5.4. Пусть стоимость одной детали, если ее заказывать заранее, составляет 100 руб. Отсутствие этой детали в запасе при поломке приводит к простою оборудования и срочный заказ детали обходится в 200 руб. Опытные данные о частоте выхода этой детали из строя приведены в табл. 2.5.1.
Таблица 2.5.1.
| Потребовалось запасных деталей (r) | Итого | ||||||
| Сколько случаев потребовало данное число деталей | |||||||
| Эмпирическая вероятность j(r) | 0.10 | 0.20 | 0.25 | 0.20 | 0.15 | 0.10 |
Эмпирическая вероятность j(r) – это доля случаев, когда спрос равен r. Подсчитаем значение с3 /(с2 + с3) = 200/(100 + 200) = 0.67.
Оптимальное решение получается в результате построения эмпирической функции распределения спроса, которая показывает долю случаев, когда спрос меньше либо равен r. (табл. 2.5.2).
Таблица 2.5.2
| s | ||||||
| P(s) | 0.10 | 0.30 | 0.55 | 0.75 | 0.90 | 1.00 |
Так как P(2) = 0.55 < 0.67 < 0.75 = P(3), то оптимальное значение s*= 3.
Полученным аналитическим решением можно воспользоваться для оценки потерь, возникающих при недостаточных запасах. Предположим, что нам неизвестна зависимость штрафа от размера дефицита, а уровень запасов, который предприниматель стремится поддерживать, равен трем деталям. Для какого штрафа этот уровень запасов будет оптимальным? Подставляя в (2.5.12) s* = 3, получим
P(2) < с3 /(с2 + с3) < P(3),
0.55 < с3 /(100 + с3) < 0.75.
Определим минимальное значение с3:
с3/(100 + с3) = 0.55, откуда с3 = 122.
Определим максимальное значение с3:
с3 /(100 + с3) = 0.75, откуда с3 = 300.
Следовательно, предприниматель считает, что размер штрафа за дефицит заключен в пределах от 122 до 300 руб.
Заключение. Общее решение задачи выбора оптимальных размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию нельзя получить на основе одной модели. Мы рассмотрели некоторые простые частные случаи. В реальных условиях потери от дефицита обычно сложно оценить, так как они могут быть обусловлены нематериальными факторами. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этих расходов существенно усложняет математическое описание задачи.
