Определение.
Пусть и точка . Точка называется точкой локального минимума (максимума), если , такая что для точки минимума и для точки максимума.
Теорема (необходимое условие существования локального экстремума).
Пусть и точка . Пусть существуют частные производные . Если – точка локального экстремума, то для i=1, 2, …,n.
Доказательство.
Рассмотрим функцию . Если – точка локального экстремума для , то – точка локального экстремума для . Так как существует производная , то существует производная . По теореме Ферма о необходимом условии существования локального экстремума (для функции одной переменной): 0, следовательно =0. Это верно для всех .
Теорема (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть и точка и =0 для всех i=1,2, …,n.Пусть f – дважды дифференцируема в точке , то - точка локального максимума, если отрицательно определен, - точка локального минимума, если положительно определен. Если не является ни положительно, ни отрицательно определенным, то экстремума нет.
|
|
Доказательство.
Рассмотрим разложение по формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Пеано.
,
.
Так как следует, что =
где .
Пусть , то есть второй дифференциал положительно определен.
Тогда следует, что
.
Обозначим .
Так как , то , такая что справедливо следующее: , тогда знак определяется первым слагаемым правой части следовательно:
при при - точка локального минимума.
Аналогично, если отрицательно определен, то .
Выберем окрестность такую что : , следовательно:
- точка локального максимума.
Пусть не является ни положительным, ни отрицательно определенным. Значит найдутся векторы в U и V, такие что и .
Заметим, что .
В самом деле (знак сохраняется так как квадратичная форма) ().
Пусть - произвольная окрестность, можно взять , такой что и при этом и и , так что
и
локального экстремума нет.
Замечание: при решении задач на определение достаточных условий экстремума удобно применять критерий Сильвестра.
Контрпример:
(0;0) – точка локального минимума.
.
Однако - не является.