Конечные и бесконечные множества

Рассматривая размерные множества, видно, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Например, множество всех вершин многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данное число, множество всех молекул в некотором объеме и т.д. Каждое из этих множеств содержит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов. С другой стороны, существуют множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Таково, например, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой, всех кругов на плоскости и т.п.

Два конечных мы можем сравнивать по числу элементов. Спрашивается, можно ли подобным образом сравнивать бесконечные множества? Имеет ли смысл, например, вопрос о том, чего больше: рациональных чисел или натуральных, точек на прямой или точек на отрезке? Для сравнения конечных множеств необходимо определить количество элементов в сравниваемых множествах, тем самым осуществить сравнение множеств. Но можно поступить и иначе, а именно – попытаться установить биекцию между элементами сравниваемых множеств, т.е. взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества, и наоборот. Ясно, что взаимно однозначное соответствие между двумя конечными множествами можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в них одинаково. Установление взаимно однозначного соответствия пригодно и для сравнения и бесконечных множеств.