Напряженное состояние в точке сплошной среды

Через каждую точку тела можно провести бесконечно много сечений, отличающихся ориентацией. Напряженное состояние в точке среды определено, если известны числовые параметры, по которым можно найти напряжения, действующие на любой площадке, проходящей через эту точку.

Компоненты напряжений. Компонентами напряжений в выбранной системе координат называют напряжения, действующие на площадках, параллельных координатным плоскостям, представленные своими проекциями на координатные оси.

На рис. 1.2 показано сечение тела плоскостью, параллельной координатной плоскости yz, нормаль сечению параллельна оси x.

Рис1.2. Напряжения в сечении, перпендикулярном оси x.

Для части тела I, изображенной на рис.1.2-b, направление внешней нормали к площадке совпадает с положительным направлением оси x, такие площадки будем называть площадками с положительной нормалью. Для части тела II (рис.1.2-c) внешняя нормаль направлена противоположно оси x, это площадка с отрицательной нормалью. На тех же рисунках показано напряжение S, действующее между частями I и II и его проекции на координатные оси. Проекция S на ось x направлена по нормали к рассматриваемой площадке, ее будем обозначать s_x, поскольку на площадке, перпендикулярной оси x, это - нормальное напряжение. Проекции S на оси y и z - это составляющие касательнщго напряжения, их обозначают соответственно t_yx и t_zx. Первые индексы у касательных напряжений определяет ось, в направлении которой это напряжение действует, а второй индекс - ось, параллельная нормали к площадке.

Таким образом, на площадке, перпендикулярной оси x, котораяизображена на рис.1.2, действуют компоненты напряжений s_x, t_yxиt_zx.

Правило знаков для компонентов напряжений: компоненты напряжений положительны, если их направление на площадках с положительной нормалью совпадает с положительным направлением соответствующей оси, а на площадках с отрицательной нормалью совпадает с отрицательным направлением оси.

Аналогично площадкам, перпендикулярным оси x, можно рассмотреть площадки, перпендикулярные осям y и z. Компоненты напряжений, действующие на площадке, перпендикулярной оси y получат обозначения s_y, t _xyи t _zy, а на площадке, перпендикулярной оси z - s_z, t _xzи t _yz. Принято компоненты напряжений располагать в виде матрицы 3х3, в которой в 1-й, 2-ой и 3-ей строках расположены компоненты напряжений, действующие в направлении осей x,y,z, а по столбцам - компоненты напряжений на площадках, перпендикулярных этим осям. Будем называть эту матрицу матрицей напряжений в точке среды. В дальнейшем будет показано, что компоненты напряжений, составляющие эту матрицу, полностью характеризуют напряженное состояние в точке среды, по ним можно определить напряжения, действующие в этой точке на любой произвольно ориентированной площадке.

Матрица напряжений имеет вид:

(s) = (4)

На рис.1.3 изображен элементарный параллелепипед, выделенный из тела в окрестности точки М, грани которого параллельны координатным плоскостям. На гранях параллелепипеда показаны положительные направления компонентов напряжений. Параллелепипед образован тремя площадками с положительной нормалью: EFGH, CBFG и CDHG, на которых положительные компоненты напряжений направлены в положительные стороны соответствующих осей; и тремя площадками с отрицательной нормалью: MBCD, MEHD, MBFE, на которых положительные компоненты напряжений направлены в противоположно осям. Обратите внимание на то, что положительные нормальные напряжения растягивают изображенный элемент в направлениях осей x,y и z (следовательно отрицательные напряжения его сжимают).

Рис.1.3. Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда.

Закон парности касательных напряжений. Если элементарный параллелепипед, изображенный на рис.1.3, находится в равновесии, то действующие на него силы (как для всякого трехмерного тела) должны удовлетворять шести уравнениям равновесия. Три из них выполняются тождественно - это уравнения равновесия в проекциях сил на координатные оси.

В самом деле, проверим условие равновесия сил в проекциях на ось x. На грань EFGH в направлении оси x действует сила, равная s_x*dy*dz (поскольку dy*dz - площадь грани EFGH); но эта сила уравновешивается равной по величине и противоположно направленной силой, действующей на площадку MBCD. Таким же образом взаимно уравновешиваются силы, порожденные напряжениями t _xzна верхней и нижней гранях и напряжениями t _xyна передней и задней гранях параллелепипеда. Остальные напряжения не дают проекций на ось x. Аналогично уравновешены проекции сил на оси y и z.

Рассмотрим три оставшихся уравнения - уравнения моментов. Напряжения t _xy, действующие на гранях BFGC и MEHD, создают равные по величине и противоположно направленные силы t _xy*dx*dz, расстояние между линиями действия которых dy. Момент этой пары M(t _xy)= t _xy*dx*dz*dy может быть уравновешен только противоположно направленным моментом M(t _yx)= t _yx*dy*dz*dx пары сил t _yx*dy*dz, создаваемых напряжениями t _yx, действующими на гранях FEHG и BMDC, расстояние между линиями действия которых равно dx. Приравняем эти моменты. Разделив полученное уравнение на объем элемента dx*dy*dz, получим первое из трех следующих уравнений

t _yx = t _xy

t _yz = t _zy (5)

t _zx = t _xz

Два других уравнения получите самостоятельно, для этого посмотрите внимательно на рис.1.3. Уравнения (5) составляют содержание так называемого закона парности касательных напряжений:

матрица напряжений симметрична относительно главной диагонали.

Последовательность индексов в обозначении касательного напряжения не имеет значения, индексы можно менять местами.

На рис.1.4 изображены две взаимно перпендикулярные площадки А и В, выделенные внутри тела, или совпадающие с его наружной поверхностью. Выберем декартову координатную систему xyz так, чтобы оси y и z лежали в плоскостях А и В, а ось x совпадала с их общим ребром. На гранях выделенного элемента, совпадающих с плоскостями А и В изображены компоненты напряжений s_y, s_z, t _xz, t _zy, t _yz, t _zx. В соответствии со вторым уравнением из системы (5) равны друг другу напряжения t _zy и t _yz. Отсюда следует вторая формулировка закона парности касательных напряжений:

На двух взаимно перпендикулярных площадках проекции касательных напряжений на нормаль к общему ребру этих площадок равны по величине и направлены обе либо к общему ребру этих площадок, либо от него.

Рис 1.4. Напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Таким образом, с учетом закона парности матрица напряжений содержит 6 независимых компонентов. Будем обозначать их в дальнейшем s_x, s_y, s_z, t _xy, t _yz и t _zx .