В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (1) принимаются значения х1, х2,..., хn точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:
.
Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х1, y = 0) получим уравнение:
Пусть для определенности f'' (x) > 0 при а х b (случай f'' (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде - f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, б).
Рисунок 3, а, б.
В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x0 = b;
(5)
образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем
Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x0 = а;
(6)
образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем
Обобщая эти результаты, заключаем:
неподвижен тот конец, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х);
последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня x, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что
| xi - xi - 1|< e,
где e - заданная предельная абсолютная погрешность.
Пример 4. Найти положительный корень уравнения
f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 х - 1,2 = 0
с точностью e = 0,01.
Прежде всего, отделяем корень. Так как
f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0,
то искомый корень x лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как
f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< x < 1,5.
Так как f'' (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:
= 1,15;
|x1 - x0| = 0,15 > e,
следовательно, продолжаем вычисления;
f (х1) = -0,173;
= 1,190;
|x2 - x1| = 0,04 > e,
f (х2) = -0,036;
= 1,198;
|x3 - x2| = 0,008 < e.
Таким образом, можно принять x = 1,198 с точностью e = 0,01.
Заметим, что точный корень уравнения x = 1,2.