Рассмотрим нелинейную систему
Связь между координатами на входе и выходе линейной части
(4.7.12)
(4.7.13)
Учитывая выражение (4.7.3) гармонической линеаризации нелинейного элемента и исключая промежуточные переменные, получим гармонически линеаризованное уравнение системы при несимметричных режимах
; (4.7.14)
– коэффициент передачи линейной части,
– статический коэффициент передачи нелинейного элемента,
Предположим, что на заданном интервале времени А, ω и x 0 остаются постоянными, при этом уравнение (4.7.14) разбивается на два:
уравнение для постоянной составляющей
, (4.7.15)
уравнение для периодических составляющих
. (4.7.16)
Система уравнений (4.7.15, 4.7.16) может быть решена алгебраическим путем. Для этого во втором уравнении системы выделяется действительная и мнимая части, их почленно приравнивают к нулю.
(4.7.17)
В итоге получаем систему из трёх уравнений (4.7.16), (4.7.17) и три неизвестных: А, ω, x 0. Эта система совместная,следовательно, могут быть найдены переменные А, ω, x 0.
|
Затем графически решается уравнение
.
Строится годограф АФХ линейной части и обратный годограф АФХ Н.Э. Откуда находятся A и w автоколебаний.
В качестве примера рассмотрим методику исследования несимметричных периодических режимов при постоянном входном воздействии.
Предположим, что g (jω)= g 0 – постоянная величина, и рассмотрим методику определения несимметричных автоколебательных режимов частотным методом.
Рассмотрим более простой случай, когда нелинейность имеет вид у = F (x), при этом коэффициенты гармонической линеаризации зависят от амплитуды А, смещения x 0 на выходе Н.Э. и имеют вид q (А,х0), q' (А,х0) и F 0(А, x 0).
1. Записываются уравнения для постоянных составляющих
; - статический коэффициент передачи линейной части, при w=0.
2. Строится прямая линия
3.
|
.
4. Строим годограф АФХ W(jω) линейной части.
Затем для ряда дискретных значений х 0 и переменной А строим семейство обратных АФХ Н.Э.
и определяем устойчивость автоколебаний.
В соответствии с критерием –автоколебания устойчивы.
|
|
|
6. По точкам пересечения годографа АФХ линейной части с обратной АФХ нелинейного элемента строим (рис.4.7.9) кривую х 0(А).
Рис. 4.7.9
|
|
|
Для исследования устойчивости автоколебательных режимов многоконтурные нелинейные системы с помощью структурных преобразований необходимо приводить к одноконтурным, одного из следующих видов:
. (5.1 а)
| |||||
| |||||
|
.(5.1 б)
.(5.1 в)
Все структуры позволяют найти характеристическое уравнение:
, (5.1.д)
поэтому определение параметров и устойчивости автоколебаний можно проводить по любой из выше представленных структур.
Из этого рассмотрения видно, что первым этапом анализа устойчивости нелинейных САУ является выполнение структурных преобразований, а вторым этапом составление уравнения (5.1.д).
Структурные преобразования нелинейных систем можно производить линейным и нелинейным способом. Преобразования в нелинейных системах отличаются от преобразований в линейных САУ, т.к. амплитуда сигнала на входе НЭ должна оставаться неизменной независимо от выполняемых преобразований, поэтому линейные звенья нельзя переносить через нелинейный элемент. Линейные преобразования выполняются по известным правилам и являются эквивалентными, т.е. передаточная функция замкнутой системы до преобразования равна передаточной функции замкнутой системы после преобразования. После нелинейных преобразований с исходным совпадает только характеристическое уравнение (5.1.д).
Рассмотрим несколько примеров с линейными и нелинейными преобразованиями структурных схем.
Пример 1. Нелинейность в прямом пути внутреннего контура.
|
Запишем по формуле Мэзона ПФ замкнутой гармонически линеаризованной нелинейной САУ . (5.2)
Проведём линейные преобразования структурной схемы
|
Просуммируем обратные связи. Ввести переменные g, z
|
В окончательном виде:
Ввести переменные g, z
|
Для проверки запишем ПФ замкнутой нелинейной САУ
(5.3)
Из совпадения выражений (5.3) и (5.2) делаем вывод, что преобразования выполнены верно.
Пример2. Преобразование структурной схемы нелинейным способом
Нелинейные преобразования основаны на отключении одной из линий связи и вынесении нелинейностей из внутреннего контура. Такие преобразования не являются эквивалентными. Они позволяют получить то же самое характеристическое уравнение, но не передаточную функцию замкнутой системы.
Разрываем схему и выносим нелинейность из внутреннего контура.
|
Характеристический полином замкнутой системы
, (5.4)
совпадает по виду со знаменателем исходной передаточной функции (5.2), но числитель ПФ будет отличаться от числителя (5.2.). Следовательно, преобразованная структурная схема не позволяет построить эквивалентные переходные процессы.
Пример 2. Нелинейность в цепи местной обратной связи
|
Разомкнём линию связи за нелинейностью и извлечём НЭ из внутреннего контура
|
|
Место разрыва устранено соединением точек А и Б линией связи.
Найдём характеристическое уравнение структуры (рис. 5.9)
(5.5)
(5.6)
По исходной структурной схеме (рис.5.7) получим ПФ замкнутой системы
. (5.7)
Как видно, знаменатель выражения (5.7) является совпадает с характеристическим уравнением (5.6).
Если в структурных схемах встречаются две нелинейности, расположенные рядом (рис.5.10), то они объединяются в одну эквивалентную нелинейную характеристику (рис.5.11). Затем преобразование структурных схем проводят веше рассмотренными способами.
| |||||
|
|
|
6.1. Выбор корректирующих устройств, препятствующих
|
|
В нелинейных системах коррекция может быть и линейной, и нелинейной. Автоколебания могут быть как естественно присутствующими, так и специально вводимые.
Линейные и нелинейные КУ вводятся со следующими целями:
а) устранение пересечения годографов линейной части и нелинейного элемента на комплексной плоскости, для исключения автоколебаний;
б) с целью обеспечения требуемой амплитуды и частоты автоколебаний, т.е. обеспечение пересечения годографов в нужной точке.
С помощью линейных корректирующих устройств деформируется годограф W(jw), а с помощью нелинейных z(A), и те и другие КУ могут быть последовательными или встречно-параллельными (в виде обратной связи).
Местные обратные связи имеют меньше ограничений на место включения и уменьшают зависимость показателей качества системы от изменения параметров охваченной части.
|
|
Рассмотрим систему с однозначной нелинейностью. Условие баланса фаз и амплитуд
выполняется на частотах ω1 и ω2
|
(6.1.1.1)
Для устранения автоколебаний необходимо введение корректирующих звеньев фазоопережающего типа.
(6.1.1.2)
|
| |||
В случае с неоднозначными нелинейными характеристиками задача синтеза существенно усложняется. Нет общей методики синтеза линейных КУ.
Общие рекомендации сводятся к следующему:
|
|
|
В точке б – устойчивые автоколебания
| |||
|
6.1.2.
|
|
(местных обратных связей)
Рассмотрим рекомендации по выбору местных обратных связей линейного или нелинейного вида.
|
J (A) – основная нелинейность (однозначная)
J к(A) – ПФ корректирующей нелинейности
W к(jω) – ПФ линейного КУ
Характеристическое уравнение:
(6.1.2.1)
Для выбора корректирующих устройств: нелинейного J к(A) и линейного W к(jω) воспользуемся дополнительными условиями.
1 Условие. Примем , т.е. корректирующая нелинейность и основная – одинаковы.
Из уравнения (6.1.2.1) получим:
. (6.1.2.2)
Условие баланса фаз и амплитуд:
(6.1.2.3)
Выбором добиваются устранения автоколебаний, т.е. чтобы суммарная ФЧХ не пересекала линии -p в области где выполняется условие
2 Условие. Примем
Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
(6.1.2.4)
Если объединить обе нелинейные характеристики в одну, получим:
Условие баланса фаз и амплитуд:
(6.1.2.5)
В данном случае устранения автоколебаний добиваются выбором в эквивалентной нелинейности.
3 Условие. Корректирующую нелинейность представим в виде:
(6.1.2.6)
где β- коэффициент, .
Тогда уравнение (6.1.2.4) можно привести к виду:
В этом случае для устранения автоколебаний необходимо выбирать β таким образом, чтобы ФЧХ не пересекала линию в заданном диапазоне амплитуд А.
4 Случай. Представим корректирующую нелинейность в форме (6.1.2.6) и подставим в уравнение (6.1.2.1)
Выделим линейную часть и нелинейный элемент.
(6.1.2.6)
Устранения автоколебаний добиваются выбором линейного КУ и коэффициента b в диапазоне от 0 до 1.
|
|
Характерной особенностью СПС является наличие в них ключевого элемента, скачкообразно изменяющего один из параметров системы.
Наибольшее распространение имеет статический ключевой элемент (рис.6.2.1, 6.2.2).
| |||||||
g - управляющий сигнал
1. Ключевой элемент имеет два параллельных канала и описывается выражениями:
(6.2.1)
Обычно в СПС используется два частных случая КЭ:
а) инвертирующий КЭ при К1=0, К2=0.
предназначается для инвертирования сигнала х при .,
б) размыкающий ключевой элемент при
.
Такой КЭ разрывает цепь передачи сигнала х при .
При К2=0 и К1 =К, КЭ превращается в линейное звено у=Кх.
Ключевой элемент может быть включен в прямую цепь (последовательно) рис.6.2.3, параллельную цепь (рис.6.2.5) или в цепь ОС (рис.6.2.4). Он может быть естественно присутствующим или специально вводимым для улучшения динамических свойств системы..
| |||||||||||
| |||||||||||
|
Сигнал управления g обычно формируют в виде произведения: , где х 1 и х 2 – либо естественно присутствующие, либо специально вводимые сигналы. Широкое применение этого закона обусловлено относительной простотой реализации КЭ, в котором анализ знаков х 1 и х 2 выполняется с помощью логических устройств.
Структурная схема последовательного ключевого корректирующего устройства (ККУ) представлена на рис. 6.2.6.
|
Звенья с ПФ WК1 и WК2 формируют сигналы х1 и х2. Для того чтобы ККУ вносило в систему положительные фазовые сдвиги передаточные функции W К1, W К2 должны быть дифференциального типа. Дифференцирующие звенья существенно увеличивают уровень помех. Более рациональным является использование, вместо сигналов х1 и х2, сигналов, естественно присутствующих в системе. Так, например, если КЭ включается на выходе инерционного звена с ПФ , то целесообразно применять схему включения ККУ (рис.6.2.7а). После эквивалентных преобразований структурной схемы из рис.(6.2.7б) видно, что сигнал . В этом случае исключается дифференцирующее звено W К1, а его роль выполняет инерционное звено W 1 системы.
|
|
|
Если линейная часть системы обладает фильтрующими свойствами, то для анализа СПС удобно применять метод гармонической линеаризации, а СПС не выше второго порядка обычно анализируют методом фазовой плоскости.