Теорема. Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, причём каждый раз событие A может наступить с одной и той же вероятностью p () независимо от результатов предыдущих опытов. Тогда вероятность того, что событие A произойдёт ровно k раз в n испытаниях, определяется по формуле Бернулли
(2.1)
где вероятность непоявления в одном испытании.
Доказательство. Пусть
соответственно появление и непоявление события A в единичном испытании,
событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие A появилось ровно k раз. Тогда
Всего получим слагаемых (
сколькими способами можно расположить
объектов по
местам без учета порядка). Тогда
Чтобы нагляднее представить свойства ряда вероятностей …,
…,
, в прямоугольной системе координат отмечают точки с координатами
и соединяют их ломаной (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1
Число наступлений события называется наивероятнейшим, если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая по сравнению с вероятностями других исходов. На рисунке 2.3 наивероятнейшее число .
Пусть n – число независимых испытаний, p – вероятность наступления события в отдельном испытании. Тогда наивероятнейшее число наступлений события удовлетворяет неравенству
, (2.2)
где .
Так как разность , то всегда найдётся целое число
, удовлетворяющее написанному выше двойному неравенству. При этом, если
целое число, то наивероятнейших чисел два:
и
.
Пример 2.1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа.
Решение. Вероятность изготовления бракованной детали . По формуле (2.2):
или
.
Единственное целое число, удовлетворяющее этому неравенству, , его вероятность находим по формуле Бернулли
.
Пример 2.2. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?
Решение. В данном случае ,
. Требуется найти число независимых испытаний n. Величины
связаны между собой соотношением (2.2):
, откуда
Из первого неравенства , а из второго
. Таким образом, необходимо провести от 191 до 197 подбрасываний игральной кости.