Свойства 1° – 3°, установленные в классическом, геометрическом и статистическом определениях вероятности, в аксиоматическом определении принимаются в качестве системы аксиом (только свойство 3° формулируется в более общем виде).
Определение. Пусть - произвольное пространство элементарных событий. Вероятностью называется числовая функция , определенная на подмножествах (случайных событиях), удовлетворяющая следующим аксиомам:
1°. Аксиома неотрицательности: .
2°. Аксиома нормированности: .
3°. Аксиома счетной аддитивности:
Для любой последовательности событий , являющихся попарно несовместными
.
Если при изучении данного случайного эксперимента не возникает потребность в рассмотрении бесконечных последовательностей событий, то в определении вероятности аксиома счетной аддитивности 3° может быть заменена на аксиому конечной аддитивности.
3*. Аксиома конечной аддитивности: для любых событий , являющихся попарно несовместными
.
Проверка аксиомы счетной аддитивности 3° на практике бывает весьма затруднительна. Для этого полезным является следующее утверждение.
|
|
Теорема (без доказательства). Аксиома счетной аддитивности 3° эквивалентна аксиоме конечной аддитивности 3* и следующей аксиоме непрерывности:
4°. Аксиома непрерывности. Если события обладают свойствами:
1) ;
2) ,
(при этом говорят, что события образуют убывающую последовательность событий), то
.
Из аксиоматического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.
4°. .
5°. .
6°. .
7°. .
(Свойства 4° – 7° были доказаны при рассмотрении классического определения вероятности сразу в общем случае).
8°. Теорема сложения вероятностей.
Для любых событий А и В (не обязательно несовместных)
.
▲ Представим событие В в виде:
.
Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности 3°
. (1)
Представим событие в виде:
.
Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме 3°
. (2)
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
. ■
Задача. Доказать, что для любых трех событий А, В и С
.
Доказать общую формулу:
.
9°. Если события образуют полную группу событий, то
.
▲ Свойство следует из определения полной группы событий и аксиом 2° и 3°. ■
10°. .
▲ Представим событие А в виде:
.
Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности 3°
. ■
Из аксиоматического определения вероятности классическое и геометрическое определения следуют, как частные случаи (поскольку в них вероятность обладает свойствами 1° – 3°, совпадающими с аксиомами). Для примера покажем, как аксиоматическое определение вероятности позволяет конструктивно задать вероятность на любом пространстве элементарных событий, содержащем счетное число не обязательно равновозможных исходов.
|
|
Пусть . Каждому исходу поставим в соответствие неотрицательное число , так, чтобы . Тогда, если вероятность любого события А определить как , то она будет удовлетворять аксиомам 1°, 2°, 3°.