Общие сведения

Электрический колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L и активного сопротивления R (рис.1). Когда переключатель К поставлен в положение 1, батарея Е сообщает конденсатору некоторый заряд q. При перебрасывании переключателя в положение 2 конденсатор начинает разряжаться через катушку, в цепи возникает Э.Д.С. самоиндукции, под действием которой конденсатор разряжается не мгновенно и после разрядки его до нуля ток в контуре не прекращается, а продолжает протекать в прежнем направлении в течение некоторого времени, вследствие чего на обкладках конденсатора появляется заряд, противоположный начальному по знаку. Таким образом, конденсатор оказывается перезаряженным, и в контуре вновь протекает процесс его разрядки, но в обратном направлении. Такие периодические изменения зарядов, напряжений и токов в контуре носят название электромагнитных колебаний. При этом происходит непрерывный переход энергии электрического поля в конденсаторе в энергию магнитного поля в катушке и обратно. В некоторый момент времени полная энергия колебаний:

где U и i - мгновенные значения разности потенциалов и тока. В те моменты времени, когда конденсатор полностью разряжен (U =0), ток достигает максимального значения I_m _,и полная энергия контура равна энергии магнитного поля:

Полная энергия колебаний постепенно уменьшается, так как электрическая энергия благодаря сопротивлению R непрерывно превращается в тепловую и рассеивается в окружающее пространство.

Составим дифференциальное уравнение колебаний в контуре. Пусть q - мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора и U - разность потенциалов между обкладками в тот же момент времени. Тогда полное напряжение в цепи равно сумме действующих ЭДС. Так как в цепи действует только ЭДС самоиндукции:

Подставив в это равенство значения , получим:

, (1)

Разделим обе части уравнения (1) на L и введём обозначения:

, (2)

(3)

где величина a называется коэффициентом затухания; w₀ – собственная частота колебаний контура. Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

(4)

Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и постоянными коэффициентами. Решения этого уравнения имеют различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами. Положим, что w₀>a, тогда:

(5)

где q₀ – максимальное значение заряда на обкладках конденсатора; j - начальная фаза колебаний; w - частота затухающих электрических колебаний:

. (6)

При R=0 и a=0

а период этих колебаний (рис.2, кривая 1) составляет:

В случае затухающих колебаний R¹0 (рис.2, кривая 2) и период:

. (7)

Решение (5) является аналитическим выражением затухающих колебаний. Большему значению коэффициента a соответствует кривая 3 (рис.2). Хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле этого слова, они обладают определённой повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заряда, а также тока и напряжения достигаются через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток времени и называется периодом Т затухающих колебаний.

Для выяснения физического смысла коэффициента a рассмотрим тепловые потери W_R на сопротивлении R за полупериод Т/2:

где <Р> - среднее за период значение тепловой мощности, выделившейся на сопротивлении R. Для синусоидального тока:

Полный запас энергии колебательного контура:

Отношение энергии, израсходованной в контуре за полупериод на нагревание W_R (тепловые потери), к энергии колебаний W_L:

Используя обозначения (2),получим:

где q называется логарифмическим декрементом, который вместе с коэффициентом затухания характеризует потери энергии в контуре.

Как следует из (6), при a>w₀ частота w оказывается мнимой, т.е. колебаний в контуре не будет. Разряд конденсатора будет апериодическим (рис.2, кривая 4 и 5). Логарифмический декремент может быть определён и другим путём. Пусть q_n и q_n₊₁ – амплитуды заряда конденсатора в момент времени t_n и t_n₊₁, причём t_n₊₁=t+T. Тогда ; и, следовательно,

Как видно из полученного соотношения, отношения последующих амплитудных значений заряда не зависит от номера максимумов и является постоянной величиной для данного контура.

Прологарифмируем соотношение:

. (8)

Таким образом, логарифмический декремент контура можно определить, как натуральный логарифм отношения последующих амплитуд заряда конденсатора. В радиотехнической практике чаще пользуются величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту q и называемой добротностью Q:

или . (9)

Добротность контура может быть представлена и так:

где N – полное число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Следовательно, чем выше добротность, тем медленнее рассеивается запас энергии контура.

В работе электромагнитные колебания исследуются с помощью электронного осциллографа. Схема собрана на специальной панели.

Для периодического возбуждения затухающих колебаний в контуре используются кратковременные импульсы напряжения, полученные с помощью неоновой лампы и дифференцирующей схемы. Напряжение U₁, снимаемое с неоновой лампы (рис.3), подаётся на вход схемы, изображённой на рис.4 и будет иметь приближённо вид, показанный на рис.5,а. На основании закона Кирхгофа для этой схемы можно составить уравнение:

где i – мгновенное значение тока.

Если R₂ и С₂ достаточно малы, то первым членом можно пренебречь, тогда:

или .

Напряжение на выходе:

т.е. данная схема (рис.4) действует, как дифференцирующая и мы получаем на её выходе ряд прямоугольных импульсов (рис.5, б), которые периодически возбуждают колебательный контур.

В рабочей схеме (рис.6) роль сопротивления дифференцирующей цепи R₂ выполняет активное сопротивление контура R. В контуре, выделенном пунктиром, получаются периодически возобновляющиеся затухающие электромагнитные колебания. Если напряжение U_y подать на вертикальный вход осциллографа, то на экране появятся быстро следующие друг за другом тождественно расположенные кривые, которые для глаза сливаются в единую.

При надлежащем подборе частоты горизонтальной развёртки эта кривая будет неподвижной. В схеме предусмотрена возможность включения конденсаторов с различной ёмкостью. Индуктивность катушки можно менять, вдвигая и выдвигая сердечник.

Порядок выполнения работы .

1. Включаем в контур один из конденсаторов и на магазине сопротивлений устанавливаем сопротивление (не более 10 Ом).

2. Включаем в сеть выпрямитель, служащий источником питания схемы.

2.1 Включаем осциллографв сеть.

2.2 Напряжение U подаётся на вход " КАНАЛ I " осциллографа.

2.3 По осциллограмме определяем период колебаний.

Устанавливаем переключатели и ручки группы “ КАНАЛ I " в следующие положения:

· переключатель “ ВОЛЬТ / ДЕЛ. ” в положение “ 10 ” (при этом ручка плавной регулировки растяжки луча по оси напряжений, находящаяся на переключателе, должна быть повернута по часовой стрелке до упора),

· ручку “ ” в среднее положение (при нажатии кнопки “ ПОИСК ЛУЧА ” должен появляться луч),

· переключатель “ ~ ^ “ в положение “~” (вход по переменной составляющей исследуемого сигнала),

· переключатель “ РЕЖИМ РАБОТЫ ” в положение “ I ” (работа I канала);

устанавливаем переключатели и ручки группы “ СИНХРОНИЗАЦИЯ А ” в следующие положения:

· тумблер “ ± ” в положение “¾” (запуск развертки луча по спаду исследуемого сигнала),

· переключатель “ ~ ~ВЧ ~НЧ ” в положение “ ~ ”,

· переключатель “ внутр. сеть 1:1 1:10 ” в положение “ внутр ” (запуск развертки луча по фронту исследуемого сигнала);

устанавливаем переключатель “ ВИД РАЗВЕРТКИ ” в положение “ А ” (при этом переключатель, находящийся на переключателе “ ВИД РАЗВЕРТКИ ”, должен быть в положении “ I ” /однократная растяжка по оси времени/);

устанавливаем переключатель “ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ А ” в положение “ 0,5 мс” (при этом ручка плавной регулировки растяжки луча по оси времени, находящаяся на переключателе, должна быть повернута по часовой стрелке до упора);

ручка “ ДЛИНА А ” должна быть повернута по часовой стрелке до упора (этим достигается максимальная развертка луча по оси времени);

устанавливаем переключатель “ РЕЖИМ А ” в положение “ ЖДУЩ ”;

устанавливаем ручки “ « ” (“ ПЛАВНО ”, “ ГРУБО ”) в среднее положение.

Ручка “ УРОВЕНЬ ” группы “ СИНХРОНИЗАЦИЯ А ” первоначально должна быть повернута против часовой стрелки до упора. Для появления изображения сигнала на экране осциллографа необходимо плавно поворачивать ручку по часовой стрелке до момента появления изображения.

После того, как изображение луча появится на экране осциллографа, необходимо выбрать масштаб по оси напряжений и времени с помощью соответствующих переключателей “ ВОЛЬТ / ДЕЛ. ” группы “ КАНАЛ I " и “ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ А ” так, чтобы изображение одного периода исследуемого сигнала занимало, по возможности, наибольшую площадь экрана осциллографа. При этом привязку изображения сигнала к осям, изображенным на экране, можно осуществить с помощью ручек “ « ”(“ ПЛАВНО ”, “ ГРУБО ”) Процедура измерения периода сигнала заключается в определении количества больших делений, которые укладываются по горизонтали в периодическую часть сигнала, с точностью до одной десятой большого деления. При этом цена большого деления по горизонали (оси времени) соответствует положению переключателя “ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ А ”.

Например, если переключатель “ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ А ” установлен в положение “ 1 мс”, а измеренное количество больших делений, укладывающихся в периодическую часть сигнала, равно 0,7, то период колебаний T_экс = 1 × 0,7 = 0,7 мс.

1.Исследование зависимости периода колебаний от индуктивности контура.

1.1. Сердечник вдвигаем в катушку полностью и по шкале, наклеенной на сердечник, определяем её индуктивность (в мГн).

1.2. Добиваемся неподвижной картинки на экране осциллографа.

1.3. По экрану осциллографа и положению ручек переключения периода развертки определяем период колебаний Т_экс..

1.4. Выдвигая сердечник из катушки и записывая каждый раз индуктивность, при 5–6 положениях сердечника, указанным выше способом определяем период колебаний. Если на экране наблюдается одновременно N периодов, то следует замерить их общую длительность å Т_эксп, а искомую величину периода найти делением: å Т_эксп /N. Результаты измерений заносим в таблицу 1:

Таблица 1.