Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.
Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(X<x) зависит от текущей переменной, т. е. является некоторой функцией от х.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:
.
Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям для дискретной случайной величины в непрерывном случае.
|
|
Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:
.
Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью f(x) на определенном участке оси абсцисс.
Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [ a; b ], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:
Функция плотности вероятности f(x) | Функция распределения F(x) | |
Рис.1. Равномерный закон распределения |
Пример 4. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и (обозначают ), если ее плотность вероятности имеет вид:
, где , . | ||
Функция плотности вероятности f(x) | Функция распределения F(x) | |
Рис.2. Нормальный закон распределения |
Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при и при ). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при : ; ; ). Таким образом, параметр характеризует положение, а параметр - форму кривой плотности вероятности.
|
|
Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами и (обозначается N (0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.
Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой:
, где .
Интеграл такого рода является "неберущимся", поэтому для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа, для которой составлены таблицы (см. Приложение 2).
, - функция нечетная! | |
Рис. 3. Функция Лапласа Ф(t) |
Используя функцию Лапласа можно выразить функцию распределения нормального закона по формуле:
, где .
Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.
1. Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х1;х2) используется формула:
.
2. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:
.
3. "Правило трех сигм". Если случайная величина , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры ( и ), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины.
Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).
.
Пример 6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами , . Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.
Вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм:
.
Вероятность того, что эта погрешность измерения в одном испытании превышает 3 мм, равна:
.
Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм:
.
Искомая вероятность: .
(p=0,8; n=10) | Бернулли |
() | Пуассона |
Равномерный | |
Нормальный |