Опять предположим, что в каждом из произведенных испытаний событие
появляется с одинаковой вероятностью
,
. Требуется вычислить вероятность
. В принципе каждое слагаемое можно вычислить по локальной формуле Муавра-Лапласа (3), но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.
Теорема3. Если вероятность наступления события
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие
наступит в
независимых испытаниях не менее
и не более
раз (включительно), приближенно равна определенному интегралу
, где
,
. (4)
Преобразуем соотношение (4):
,
где – функция Лапласа (или интеграл вероятностей).
Вероятность того, что событие появится в
независимых испытаниях от
до
раз
, где
,
. (5)
Функция табулирована. При пользовании таблицей следует применять следующие свойства функции
: 1) функция
нечетная, т.е.
;
2) (на практике
при
).
|
|
Приведем следствие интегральной теоремы Лапласа.
Следствие. Если вероятность наступления события
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе
независимых испытаний вероятность того, что:
1) отклонение числа наступлений события
от произведения
по абсолютной величине не более чем на заданную величину
; (6)
2) относительная частота события
заключается в пределах от
до
; (7)
3) отклонение относительной частоты события
от постоянной вероятности
по абсолютной величине не более, чем на величину
. (8)