Система дифференциальных уравнений называется стационарной (или автономной), если она не содержит явно время
:
(1)
(время скрыто в функциях
и
). В этом случае скорость
в точке
не зависит от времени. Поэтому, отправляясь из этой точки в разные моменты времени
и
, за один и тот же промежуток времени точка опишет одну и ту же траекторию и попадет в одну и ту же точку (так ведут себя, например, частицы жидкости при установившемся течении).
Мы рассматриваем линейную систему (1) (первой степени относительно переменных ):
,
где известная постоянная
- матрица,
известная постоянная
- матрица (матрица управления).
Таким образом, мы рассматриваем линейную стационарную задачу без фазового ограничения ()
(2)
где искомая
-мерная вектор-функция, непрерывная с кусочно-непрерывной производной,
-мерное кусочно-непрерывное управление.
Сформулируем без доказательства критерий управляемости системы (2).
2.2.1. Теорема (критерий Калмана)
Линейная стационарная система (2) управляема (т.е. найдется допустимое управление , переводящее объект (2) из состояния
в состояние
при любых
) тогда и только тогда, когда
|
|
.
Под матрицей понимается матрица, полученная приписыванием справа к матрице
элементов матрицы
(с сохранением порядка элементов), затем элементов матрицы
и т.д.
Пример. Проверим управляемость системы
.
Здесь ,
,
.
Составим матрицу :
,
,
Система управляема.
Задача оптимального быстродействия состоит в следующем. Пусть в фиксированный начальный момент времени объект находится в состоянии
. Надо подобрать допустимое управление
, переводящее его в заданное состояние
за кратчайшее время: если
– конечный (не фиксированный) момент времени, т.е.
, то промежуток времени
должен быть минимальным. Ясно, что за критерий качества следует взять интегральный критерий
с подынтегральной функцией :
-
критерий оптимального быстродействия.
Таким образом, линейная стационарная задача оптимального быстродействия имеет вид
¡
.