Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций и
. Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени продолжительности
равно
. Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е.
. Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:
. (6.3)
Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция не является непрерывной:
при всех
, кроме моментов поставки продукта, когда
, где
объем партии. Так как интенсивность расхода равна
, то вся партия будет использована за время
. (6.4)
Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии , т.е.
. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис 6.1.
Рисунок 6.1 – Уровень запаса в зависимости от времени
На временном интервале уровень запаса уменьшается по прямой
от значения
до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент
уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения
за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения
повторяется на каждом временном интервале продолжительностью
(рис.6.1).
Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии , при котором суммарные затраты
на создание и хранение запаса были бы минимальными, т.е.
, (6.5)
где затраты на создание запаса,
затраты на хранение запаса.
Найдем величины за весь промежуток времени
.
Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны , а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени -
. Так как за время
необходимо запастись
единицами продукта, который доставляется партиями объема
, то число таких партий
равно:
.
Тогда затраты на создание запаса составят:
,
а затраты на хранение запаса
.
Таким образом, целевая функция (6.5) примет вид
.
Для этой задачи Уилсоном была найдена формула наиболее экономичного объема партии
. (6.6)
Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты
.
Число оптимальных партий за время
.
Время расхода оптимальной партии равно
. (6.7)