§1. Понятие производной функции.
Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке X.
|
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza14/1007742225333.files/image017.gif)
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza14/1007742225333.files/image019.gif)
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza14/1007742225333.files/image021.gif)
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza14/1007742225333.files/image023.gif)
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza14/1007742225333.files/image025.gif)
Опр. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
Производную функции обозначают также ,
. Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из следуют соотношения:
.
При точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.
,
где - угол между касательной к графику в т.
и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Пример 1.Найти производную функции у=х.
|
|
Решение. Для любой точки найдем производную:
.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. Для любой точки найдем производную:
Аналогично можно найти производные всех основных элементарных функций.