Способы изучения парной корреляции

Одной из основных задач корреляционного анализа является определение влияние факторов на величину результативного показателя в абсолютном измерении. Для решения этой задачи применяется соответственный тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи.

Обоснование уравнения связи делается с помощью сопоставимых параллельных рядов, группировки данных и линейных графиков.

Размещение точек на графике покажет, какая зависимость образовалась между изучаемыми показателями: прямолинейная или криволинейная.

При этом, чем сильнее связь, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающие форму связи.

Помимо графического существует другой способ:

§ если результативные и факторные признаки возрастают одинаково в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной зависимости связь гиперболическая;

§ если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная связь.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой.

… (3.1),

где – результативный показатель; х – факторный показатель; а, b – параметры уравнения регрессии, которые требуются отыскать.

Значения а и b находят из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов:

…. (3.2),

где n – количество наблюдений; значения , , , определяются по фактическим исходным данным.

Коэффициент а – постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора.

Коэффициент b показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные или теоретические значения результативного показателя у.

Для измерения тесноты связи между факторными и результативными показателями исчисляется коэффициент корреляции. При прямолинейной форме связи между изучаемыми показателями он рассчитывается по следующей формуле:

(3.3).

Коэффициент корреляции может принимать значения от -1<0<+1.Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. Если он имеет значение до – связь практически отсутствует, – слабая связь, – умеренная связь, – сильная связь.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации. Он показывает, на сколько процентов результативный показатель зависит от факторного.

Задача 3.1. На основании данных представленных в таблице 3.1, составьте уравнение связи, описывающее зависимость производительности труда Yx от фондовооруженности х, коэффициенты корреляции и детерминации и дайте им экономическую интерпретацию.

Решение. На основании исходных данных заполняем таблицу 4.2, где рассчитываем значения xy, X² , Y², Y_x.

Таблица 3.1

Исходные данные для определения корреляционной зависимости

n
x	3,1	3,4	3,6	3,8	3,9	4,1	4,2	4,4	4,6	4,9
y	4,5	4,4	4,8	5,0	5,5	5,4	5,8	6,0	6,1	6,5

Подставим полученные значения в систему уравнений (3.2). Умножив все члены первого уравнения на 4. Приведем систему уравнений.

Вычтя из второго уравнения первое, узнаем, что 2,76b=3,45. Отсюда b=1,25. Подставим b в любое уравнение, получим а=0,4.

Получим уравнение связи, описывающее зависимость производительности труда от его фондовооруженности:

.

Отсюда можно сделать вывод, что с увеличением фондовооруженности труда на 1 тыс. р. выработка рабочих повышается в среднем на 1,25 тыс. р.

Чтобы рассчитать выработку рабочих на первом предприятии, где фондовооруженность труда равна 3,1 тыс. р., необходимо это значение подставить в уравнение связи:

Таблица 3.2

Расчет производных данных для корреляционного анализа

n	x	y	xy	X2	Y2	Yx
	3,1	4,5	13,95	9,61	20,25	4,28
	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,65
	3,6	4,8	17,28	12,96	23,04	4,90
	3,8	5,0	19,00	14,44	25,00	5,15
	3,9	5,5	21,45	15,21	30,25	5,28
	4,1	5,4	22,14	16,81	29,16	5,52
	4,2	5,8	24,36	17,64	33,64	5,65
	4,4	6,0	26,40	19,36	36,00	5,90
	4,6	6,1	28,06	21,16	37,21	6,15
	4,9	6,5	31,85	24,01	42,25	6,28
Итого			219,45	162,76	296,16	53,75

.

Полученная величина показывает, какой была бы выработка при фондовооруженности труда 3,1 тыс. р., если данное предприятие использовало свои производственные мощности в такой степени, как в среднем все предприятия этой выборки.

Далее вычисляем коэффициент корреляции, подставив значения из табл.7 в формулу (4.3). Получим r=0,97. Это позволяет сделать вывод о том, что фондовооруженность – один из основных факторов, от которых на анализируемых предприятиях зависит уровень производительности труда.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации (d=0,94). Он показывает, что производительность труда на 94% зависит от фондовооруженности труда, а на долю других факторов приходится 6% изменения ее уровня.