Правила Лопиталя

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или ¥/¥ при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)¹0 в О°(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и $

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда $ lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= | $ c=c(x) лежащая между х их₀ если

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

х®х₀ то с®х₀ | =lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_°

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^x®x_° ^x®x_°

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если $ f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)¹0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+a(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+b (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Теорема: (¥/¥) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О°(х₀), g'(x)¹0 и О°(х₀), дифференцируемы в О°(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=¥; $ lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x®¥

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!=¥ "nÎ N lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+¥

^{x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥}

f(x)=lnx

x®+¥

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x®+¥ x®+¥ x®+¥}