Радиусы кривизны земного эллипсоида

Плоскости секущие эллипсоид вращения по различным направлениям, образуют в пересечении с его поверхностью или окружности или эллипсы.

Основными сечениями эллипсоида являются (рис. 1.5):

- сечение плоскостью, проходящей через малую ось;

- сечение плоскостью, перпендикулярной малой оси;

- нормальное сечение.

Сечение плоскостью, проходящей через малую ось РР¢ эллипсоида, образует на его поверхности меридианный эллипс или истинный меридиан «PQP¢Q¢». Кривизна его – переменная величина (радиус кривизны М – тоже). Радиус М уменьшается с уменьшением географической широты (j) и вычисляется по формуле:

(1.4)

где а – большая полуось;

е – эксцентриситет

Приняв, что , то

(1.5)

Рис.1.5. Радиусы кривизны земного эллипсоида

Экваториальный радиус кривизны меридиана при j = 0°: М₀ = 6 335 552,6 м.

Сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной его малой оси РР¢ дает на его поверхности малый круг qq¢ – параллель. Радиус параллели r вычисляется по формуле:

или или . (1.6)

При j = 0° радиус параллели равен большой полуоси а эллипсоида, и эта параллель – земной экватор.

Нормальное сечение – сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через нормаль к его поверхности. Из бесчисленного множества возможных нормальных сечений выделяют два главных нормальных сечения – меридианное и перпендикулярное ему – сечение первого вертикала. Для сечения первого вертикала радиус кривизны эллипса N, вычисляется по формуле:

или (1.7)

на полюсе M = N, M < N;

на экваторе N₀ = a.

Экваториальный радиус кривизны первого вертикала при j = 0°:

N₀ = a = 6 378 245 м.

Радиус кривизны нормального сечения, составляющего с меридианом в заданной точке угол А, вычисляется по формуле:

(1.8)

где М и N – величины, определяемые в зависимости от широты j по формулам (1.4) и (1.7).

Радиусом средней кривизны эллипсоида в данной точке с широтой j называют среднее геометрическое из радиуса М и N.

Радиус средней кривизны эллипсоида вычисляется по формуле:

(1.9)

Значения М, N, R даны в картографических таблицах УГС через каждые 30¢ j.

Произведение любого радиуса кривизны на «arс 1 ¢» равно длине дуги в 1 ¢ данного сечения. Учтя приведенные выше формулы, получим выражение для определения длин дуг:

1) – одной минуты параллели:

(1.10)

или без учета сжатия Земли (е = 0)

(1.11)

2) – одной минуты первого вертикала:

(1.12)

или приближенно:

(1.13)

3) – одной минуты меридиана:

(1.14)

или приближенно:

. (1.15)

Таким образом, поверхность земного эллипсоида имеет кривизну, изменяющуюся от точки к точке по широте и от направления в данной точке.

Выводы

1. Для решения задач судовождения Земной шар принимается за эллипсоид вращения с элементами референц-эллипсоида Красовского.

2. Положение точки на земной поверхности определяется географическими координатами:

- географической широтой (j);

- географической долготой (l).

3. Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе судна от одной точки к другой, являются:

- разность широт (D j, РШ) и

- разность долгот (D l, РД).

4. Форма и размеры земного эллипсоида характеризуются радиусами кривизны его основных сечений (М, r, N, r_A, R).

Примечание: Самоконтроль знаний по теме проводится по тестовым заданиям к главе на базе приложения «Компьютерная система тестирования знаний «OPENTEST»».