Теперь рассмотрим уравнение кривой второго порядка, в котором коэффициент .
В этом случае необходимо применить преобразование поворота осей координат по формулам:
![]() | (13) |
При этом угол подбирается таким образом, чтобы уравнение стало пятичленным, т.е. не содержащим произведения
. Дальнейшие преобразования аналогичны приведенным выше преобразованиям для пятичленного уравнения.
3. Примеры выполнения заданий типового расчета
Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса и гиперболы с полуосями и
, выписать координаты фокусов.
Решение.
Составим сначала уравнение эллипса по формуле (2):
или
.
Так как , то фокусы имеют координаты
и
, где
. Т.е. координаты фокусов
и
.
Составим уравнение гиперболы, для которой действительная полуось , а мнимая –
. Воспользуемся формулой (5). Получим
или
.
Для гиперболы
. Поэтому фокусы имеют координаты
и
.
В случае, когда полуось является мнимой, а полуось
– действительной, получим по формуле (6)
или
.
Фокусы данной параболы имеют координаты и
.
|
|
Задача 2. Составить канонические уравнения парабол с параметром , выписать координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение.
В случае, когда парабола симметрична относительно оси , ее уравнение, согласно формуле (9), имеет вид
или
. При этом фокус лежит на оси
на расстоянии
от начала координат, т.е. координаты фокуса
, уравнение директрисы имеет вид
.
Если же осью симметрии параболы является ось , то уравнение примет вид
или
. Соответственно, фокус находится на оси
, имеет координаты
, а уравнение директрисы:
.
Задача 3. Построить кривые 2-го порядка, заданные уравнениями:
а) ; б)
; в)
.
Решение.
а) Данное уравнение задает эллипс с полуосями ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис. 7 |
б) Уравнение преобразуем к виду или
. Значит, это гипербола, симметричная относительно оси
, с действительной ось
и мнимой осью
. Для построения отложим от начала координат в обе стороны
по оси
и
по оси
(рис. 8). Аналогично случаю а) построим прямоугольник, затем проведем в нем диагонали и продлим их за прямоугольник.
Данные диагонали являются асимптотами гиперболы. Ветви гиперболы будут располагаться выше и ниже построенного прямоугольника, их вершинами являются точки ![]() ![]() |
Рис.8 | |||||||
в) Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси ![]() ![]() ![]() |
Рис 9 |
Задача 3. Привести к каноническому виду уравнение . Найти координаты фокусов. Построить кривую.
Решение.
Сгруппируем слагаемые и дополним до полного квадрата. Получим:
,
,
,
,
.
Перенесем начало координат в точку (рис. 10) и применим преобразование координат
,
, получим уравнение эллипса:
.
Полуоси данного эллипса ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
Задача 4. Привести уравнение к каноническому виду, сделать чертеж, если это возможно.
Решение.
Сгруппируем слагаемые, сразу дополняя до полного квадрата:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис. 11 |
Задача 5. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние до точки в 2 раза больше расстояния до прямой
.
Решение.
Пусть – произвольная точка искомой кривой. Тогда расстояние
. Так как прямая
перпендикулярна оси
, то расстояние до нее от точки
равно
. Тогда по условию получаем:
.
Возведем обе части полученного равенства в квадрат и проведем необходимые преобразования:
.
Применив преобразование координат ,
, получим каноническое уравнение гиперболы
. Т.е искомая кривая – это гипербола с центром симметрии
.
Задача 6. Привести уравнение к каноническому виду. Определить тип кривой.
Решение.
Применим преобразования (13), получим:
Раскроем скобки и приведем подобные:
Приравняем к нулю коэффициент при и, решив тригонометрическое уравнение, найдем
.
или
,
откуда или
. Очевидно, что эти значения тангенса соответствуют двум перпендикулярным направлениям, поэтому достаточно взять одно из них, т.к. при втором мы просто поменяем местами
и
. Возьмем
. Тогда
,
. Пусть
,
. Т.е. совершаем поворот координатных осей на угол
. Подставим в уравнение и получим:
.
Теперь выделяем полные квадраты, аналогично случаю пятичленного уравнения.
,
,
.
Возьмем за новое начало координат точку и, применив преобразование координат
,
, получим уравнение эллипса:
.
Полуоси данного эллипса: и
.
4. Варианты типового расчета «Кривые второго порядка»
Задание 1.
а) Составить каноническое уравнение эллипса (в нечетных вариантах) или гиперболы (в четных вариантах) с полуосями и
(в вариантах 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 и 30 действительная полуось
, мнимая –
, в вариантах 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 – наоборот) по данным табл. 1., выписать координаты фокусов.
б) Составить каноническое уравнение параболы с заданными параметром и осью симметрии по данным табл. 1, выписать координаты фокуса и уравнение директрисы.
Таблица 1
Вариант | Данные | Вариант | Данные | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | Ось симметрии | ![]() | ![]() | ![]() | Ось симметрии | ||
5,5 | Ox | –0,75 | Ox | ||||||
3,5 | Oy | 6,5 | Ox | ||||||
–5 | Oy | Oy | |||||||
–4,5 | Ox | –4,75 | Oy | ||||||
Ox | –8,5 | Ox | |||||||
2,5 | Oy | Ox | |||||||
–3 | Oy | 0,25 | Oy | ||||||
–0,5 | Ox | –1,25 | Oy | ||||||
Ox | –9 | Ox | |||||||
1,5 | Oy | 9,5 | Ox | ||||||
–1 | Oy | 2,75 | Oy | ||||||
–3,25 | Ox | –1,75 | Oy | ||||||
Ox | –4,75 | Ox | |||||||
3,75 | Oy | 7,5 | Ox | ||||||
–7 | Oy | 4,25 | Oy |
Задание 2. Выбрав соответствующий масштаб, построить кривые 2-го порядка, заданные уравнениями, приведенными в табл. 2.
|
|
Таблица 2
Вариант | Уравнения кривых | ||
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
Таблица 2 (окончание)
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
Задание 3. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду (табл. 3), построить кривые, найти координаты фокусов.
Таблица 3
Вариант | Уравнение кривой | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() |
Таблица 3 (окончание)
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() |
Задание 4. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду (табл. 4), сделать чертеж, если это возможно.
Таблица 4
Вари-ант | Уравнение кривой | Вари-ант | Уравнение кривой |
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
Задание 5. Найти уравнение кривой на плоскости, используя заданные геометрические свойства кривой (табл. 5), привести полученное уравнение к каноническому виду, указать тип кривой. Для каждой точки кривой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой
равно
.
Таблица 5
Вари-ант | Исходные данные | Вари-ант | Исходные данные | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Задание 6. Исследовать кривую второго порядка и привести ее уравнение к каноническому виду (табл. 6).
|
|
Таблица 6
Ва-ри-ант | Уравнение кривой | Ва-ри-ант | Уравнение кривой | |
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | |||
![]() | Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Подборка статей по вашей теме:
|