Пусть дана функция ,
- точка разрыва 1 рода функции
,
если в точке существуют конечные односторонние пределы функции справа и слева т.е.
и
, при этом:
- если
, то точка называется точкой устранимого разрыва 1 рода
- если
, то точка называется точкой конечного разрыва (или неустранимого разрыва) 1 рода. Величину
называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Пример 1: Возьмём . Все точки области определения
этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку
не входит в область определения функции
, то 0 - точка разрыва функции
. Мы можем доопределить эту функцию при
, положив
, тогда функция становится непрерывной в точке 0. Значит,
- точка разрыва первого рода для функции.
Рис. Устранимый разрыв функции
Пример 2: Рассмотрим функцию . Её область определения
состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка
, в которой функция не определена, это точка разрыва функции. Поскольку
при
, то
. Это означает, что при
функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить
.
|
|
Рис. Устранимый разрыв функции
Пример 3: Рассмотрим функцию
, для которой
Функция имеет разрывы при
и при
. Распишем модуль разности
который может быть:
и
, решением первого неравенства
будут 2 интервала
, решением второго
один интервал
, таким образом
в точках и
функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке
имеем:
. Таким образом, предельные значения на краях разрыва существуют, но не совпадают; в точке
:
снова пределы слева и справа существуют, конечны, но не совпадают.
Рис. График функции , имеющей точки
и
неустранимого разрыва 1 рода, в которых функция делает скачки, величиной