Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)
Теорема 2: Пусть функции непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
, состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке
.
Теорема 3: Если функция непрерывна и строго монотонна на
оси
, то обратная функция
также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке
оси
.
Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.
Как известно, элементарной называется функция, которая получена путем применения конечного числа арифметических операций и суперпозиций к основным элементарнымфункциям. Поэтому из вышеприведенных теорем следует, что все элементарные функции, непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Задачи по теме:
1. Исследовать на непрерывность функцию:
Решение: На каждом из участков области определения функция является непрерывной , разрывность в данном случае может наблюдаться только в стыковочных точках, области определения, т.е. в точках, где функция меняет свое аналитическое выражение. Точки
и
обозначаем как подозрительные на разрыв. Исследовать на разрывность будем, используя аппарат односторонних производных. Найдем пределы справа и слева от точки
предел слева
, предел справа
, откуда следует, что функция в данной точке имеет конечные односторонние пределы, значения которых совпадают. В такой ситуации может быть развитие в двух направлениях: 1) возможно функция непрерывна в данной точке, если значение
и, следовательно,
2)
или в данной точке функция просто не определена; и, следовательно,
, тогда функция в
, терпит разрыв 1 рода устранимый.
Посмотрев на выражение функции, делаем заключение, чтов точке функция не определена и, исходя из выше сказанного, имеет устранимый разрыв 1 рода. Доопределив функцию в этой точке, разрыв устраняется.
Исследуем точку . Найдем пределы справа и слева от точки
.
и
, имеем предыдущую ситуацию, когда значение пределов равны, смотрим значение функции в данной точке:
и
следовательно, согласно второму определению непрерывности функции в точке, сформулированному выше, в данной точке функция непрерывна.
2. Исследовать на непрерывность функцию:
Решение: Обозначаем точки, подозрительные на разрыв: и
, найдем односторонние пределы:
и
, оба предела конечны, но их значения не равны между собой, следовательно, функция терпит разрыв 1 рода, неустранимый, величина скачка
, поскольку предел слева равен значению функции в данной точке, а именно:
, то функция непрерывна слева. Аналогично находим для
:
и
, следовательно, функция терпит разрыв 1 рода, неустранимый, величина скачка
, в силу того, что функция в точке
не определена, непрерывности нет ни слева, ни справа.
3. Исследовать на непрерывность функцию:
4. Исследовать на непрерывность функцию:
5. Исследовать на непрерывность функцию:
6. Исследовать на непрерывность функцию:
7. Исследовать на непрерывность функцию:
8. Исследовать на непрерывность функцию:
9. Исследовать на непрерывность функцию:
10. Исследовать на непрерывность функцию:
11. Исследовать на непрерывность функцию , используя 3 определение:
12. Исследовать на непрерывность функцию , используя 3 определение: