Определение. Критической точкой (по второй производной) называется точка, в которой вторая производная равна нулю или не существует.
Теорема. Только критические точки могут являться точками перегиба. Не любая критическая точка является точкой перегиба.
Пример 47.1. Рассмотрим функцию . Легко проверить, что
,
. Вторая производная обращается в ноль при
;
. Соответствующие ординаты этих точек равны:
Это критические точки (по второй производной). Знаки второй производной и график функции указаны на следующих рисунках:
Рис. 47.1.
Рис. 47.2.
Хотя здесь три критические точки (по второй производной), но из рисунка видим, что точками перегиба являются только точки и
. Точка
не является точкой перегиба, но является точкой максимума.