Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида , где векторное произведение первых двух векторов умножается скалярно на третий вектор. Обозначается
.
Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах
, взятому со знаком «+», если тройка правая, со знаком «
» если тройка левая.
Если векторы компланарные, то
.
Смешанное произведение в ПДСК
Если известны координаты векторов ,
,
, то смешанное произведение вычисляется по формуле
.
Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен
.
Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах равен
.
Задача 52. Даны вершины треугольной пирамиды ,
,
,
. Найти длину её высоты
, которая опущена на грань
(Рис. 8).
Решение. Рассмотрим векторы
,
,
, на которых построена треугольная пирамида
. Найдём их координаты:
,
,
.
Из школьного курса геометрии известна формула объёма пирамиды:
.
В основании лежит треугольник , его площадь
.
Следовательно,
.
С другой стороны,
.
Тогда
.
Вычислим смешанное произведение:
|
|
.
Вычислим векторное произведение:
.
Далее, найдём модуль этого векторного произведения:
.
Тогда высота пирамиды
.