Метод Эйлера

Для решения задачи Коши (8.1) составляют таблицу значений y_k=y(x_k), где x_k=x₀+kh (k = 0,1,…, n), h=(b-a)/n, y(x₀)=y₀, x₀=a, [ a,b ] – отрезок, на котором ищется решение. Значение y_k+1 определяется по формуле

y_k+1=y_k + h f(x_k,y_k), k = 0,1,…,n -1, y(x₀)=y₀ . (8.7)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

R_k =0.5 h ² (e), где x_k£ e £ x_k+1.

Модифицированный метод Эйлера с уточнением состоит в следующем: сначала вычисляют

y⁽⁰⁾_k+1 = y_k + h f(x_k,y_k), k = 0,1,… n -1,

а затем это значение уточняют по формуле

y⁽ⁱ⁾_k+1=y_k+ [ f(x_k,y_k)+f(x_k+1,y^(i-1)_k+1) ], где i = 0,1, 2,… - номер итерации. (8.8)

Итерации продолжаются до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближений не совпадут.