2015-07-14
1087
Правило Лопиталя – это простой и весьма эффективный способ раскрытия неопределенностей, используемый для вычисления пределов функций.
Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 
.
Теорема 1. Пусть функции 
и 
определены и дифференцируемы в окрестности точки 
, за исключением, может быть, самой точки . Пусть также 
, где 
в указанной окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных 
(конечный или бесконечный), то существует и предел 
, причем справедлива формула:
.
Пример 1. Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя: 
.
Решение. Функции 
и 
стремятся к нулю при 
, причем 
в окрестности точки 
. Применяя правило Лопиталя, получим:
Вторая теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида 
.
Теорема 2. Пусть функции определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой этой точки. Пусть 
и в окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула
|
|
|
.
Если отношение 
в свою очередь опять представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно применять второй раз и т.д.
Пример 2. Найти предел, применяя правило Лопиталя: 
.
