Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция на некотором интервале
имеет производную
всюду на
, то
на
монотонно возрастает; если же
всюду на
, то
на
монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство
, функция
и
непрерывны в точке
и
, то на
выполняется неравенство
.
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих теорем.
Задача 1. Пусть .Докажите истинность неравенства
. (1)
Решение: Рассмотрим на функцию
. Найдем ее производную:
. Видим, что
при
. Следовательно,
на
убывает так, что при
. Но
Следовательно неравенство (1)
верно.
Задача 2. Пусть и
положительные числа,
Тогда очевидно, что
,
. Можно ли гарантировать, что неравенство
(2)
верно а) при ; б) при
?
Решение: а) Рассмотрим функцию . Имеем:
|
|
Отсюда видно, что при функция
возрастает. В частности, она возрастает на интервале
Поэтому при
неравенство (2) справедливо.
б) на интервале
, т.е.
убывает. Поэтому при любых
и
, для которых
, неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:
Задача 3. Доказать неравенство: при
(3).
Воспользуемся теоремой 2. и
, верно неравенство
:
на промежутке
и выполнимо условие
где
, в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство:
(4).
Решение: ,
;
Неравенство при любых
верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если , то
(5).
Решение: Пусть Тогда
Чтобы найти, при каких значениях функция
положительная, исследуем ее производную
. Так как при
то
Следовательно, функция возрастает при
. Учитывая, что
и
непрерывна, получаем
, при
.
Поэтому возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку
непрерывна и
то
при
. Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при :
или
.
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь .
Рассмотрим на вспомогательную функцию
.
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):
при
.
В силу теоремы 1 функция вырастает на отрезке
. Поэтому, при
т.е.
при
.
При решении задачи (6)встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой
, а значение остальных букв (в данном случае значение буквы
) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.
|
|
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных неравенство:
(6).
Решение: Пусть Рассмотрим функцию
.
При имеем
.
Отсюда видно (теорема 1), что убывает на
Поэтому при
имеем
т.е. мы получили неравенство:
(7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При
имеем:
Следовательно, убывает на
, т.е.
при
значит,
(8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция непрерывна на
и пусть имеется такая точка с из
, что
на
и
на
. Тогда при любом х из
справедливо неравенство
причем равенство имеет место лишь при
.
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:
.
Видно, что на
и
на
. Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при
.