Решение

Ответ: 0,716.

1.2.6. Монотонность и экстремумы

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ ab ], если

Теорема 1. Если функция f(x), дифференцируемая на [ ab ], возрастает на этом отрезке, то на [ ab ].

Если f(x) непрерывна на [ ab ] и дифференцируема на (ab), причем для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ ab ].

Доказательство.

1. Пусть f(x) возрастает на [ ab ]. Тогда при

Если же

Следовательно, в обоих случаях

Значит,

что и требовалось доказать.

2. Пусть

По теореме Лагранжа

Но по условию

следовательно, f(x) – возрастающая функция.

Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: если f(x) убывает на [ ab ], то на [ ab ]. Если на (ab), то f(x) убывает на [ ab ].

Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [ ab ], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна).

Рис. 1

Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох).

Рис. 2