Математичний аналіз оперує змінними. Основне поняття – поняття функції. Вектори теж будемо розглядати змінними.
Нагадаємо означення функції, відоме з курсу математичного аналізу.
Якщо кожному елементу x деякої непустої множини X за певним правилом або законом (позначають f, g тощо) ставиться у відповідність єдиний елемент y множини Y, то кажуть, що на множині X визначена функція, яку позначають, наприклад, ![]() ![]() ![]() |
Довільний елемент називають незалежною змінною або аргументом, множину X – областю визначення функції
,множину
– областю значень функції f:
.
Область визначення і область значень функції позначають також
і
відповідно.
В математичному аналізі, як правило, розглядаються функції, в яких x і y є елементами підмножини множини дійсних чисел . Такі функції називають числовими або скалярними.
З геометричної точки зору числова функція визначає відображення множини точок
однієї прямої на деяку множину точок
, взагалі кажучи, іншої прямої.
Вектор-функція одного аргументу – функція, в якій залежна змінна є вектором, а аргумент t приймає значення з множини дійсних чисел
.
|
|
Функція ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Позначення: – область визначення
,
– область значень
.
У загальному випадку зі зміною t змінюється вектор як за величиною, так і за напрямком. Але може бути вектор-функція сталого модуля (змінюється лише напрям, а модуль залишається незмінним) і вектор-функція сталого напряму (змінюється лише модуль).
Якщо в тривимірному евклідовому просторі вибрати прямокутну декартову систему координат з ортонормованим базисом
то координати вектор-функції
будуть скалярними функціями того самого аргументу t:
Таким чином, задання вектор-функції рівносильне заданню трьох числових (скалярних) функцій
,
,
.
Якщо вважати ,
,
неперервними функціями та інтерпретувати аргумент t як час, то інтуїтивно зрозуміло, що кінець вектора
, відкладеного від початку кординат, опише криву. Ця крива називається годографом вектор-функції
.
Для вектор-функції вводяться поняття нескінченно малого вектора, границі, неперервності, похідної, інтеграла, аналогічні відповідним поняттям для скалярної функції.
Нескінченно малим називається вектор ![]() ![]() |
Нескінченно малі вектори мають властивості, аналогічні властивостям нескінченно малих скалярних величин:
1°. Сума скінченного числа нескінченно малих векторів – нескінченно мала. |
□ Нехай , де
– нескінченно малі вектори.
|
|
Відомо, що . ■
2°. Якщо вектор є співмножником деякого добутку (скалярного або векторного), один із співмножником якого нескінченно мала величина, а другий – обмежений за абсолютною величиною, то і добуток є нескінченно малою величиною. |
Для нескінченно малих векторів можна ввести поняття порядку малості (порівнюючи їх модулі).