Понятие дифференциала функции
Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную
.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .
Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем то .
Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .
Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):
.(1)
Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной , т. е. дифференциал функции .
Так как , то, согласно формуле (1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .
Поэтому формулу (1) можно записать так
|
|
, (2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .
Пример 1. Найти дифференциал функции .
Решение: По формуле находим .
Пример 2. Найти дифференциал функции . Вычислить при .
Решение: .
Подставив и , получим .
Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис.). На рисунке . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. .
Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .
Сравнивая полученный результат с формулой (1), получаем , т. е. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции () и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: .
Теорема 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
|
|
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Таблица дифференциалов
, в частности
, в частности
, если
, если
, в частности
, в частности
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение функции в точке можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство
, (3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше .
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.
Пример 3. Найти приближенное значение приращения функции при .
Решение: Применяем формулу (3) получаем .
Итак, .
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем :
.
Абсолютная погрешность приближения равна .
Подставляя в равенство (3) значения и , получим или
(4)
Формула (4) используется для вычислений приближенных значений функций.
Пример 4. Вычислить приближенно .
Решение: Рассмотрим функцию . По формуле (4) имеем , т. е. .
Так как , то при получаем .
Пример 5. Вычислить приближенно , при .
Решение: Рассмотрим функцию . По формуле (4) имеем , т. е. .
Так как , то при () получаем
.
Пример 6. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за от начала падения. Уравнение свободного падения тела , .
Решение: Требуется найти . Воспользуемся приближенной формулой , т.е. . При и , , находим
.