1. Из всей совокупности спаренных частичных отрезков, образующих сетку , по заданной величине
выбрать два пересекающихся "окна"
(предполагается, что
принадлежит внутреннему отрезку
).
2. Для "окон" и
вычислить значения коэффициентов Лагранжа: — для "окна"
и — для "окна"
. Путем суммирования проверить правильность полученных значений коэффициентов:
3. Используя значения коэффициентов Лагранжа, вычислить значения по формуле (4.14).
Если в расчетах не требуется высокая точность интерполирования, то можно ограничиться выбором одного "окна", например , и тогда
. Для достижения повышенной точности интерполяцию провести для двух "окон" и результаты
усреднить:
При этом порядок интерполяции повышается на единицу, т.е. аппроксимирует точное значение с четвертым порядком, поскольку погрешность составляет величину
, где
.
Замечание. Если или
, то выбирается одно "окно"
или
соответственно.
Геометрическая интерпретация параболической интерполяции изображена на рис. 4.4. Параболе соответствует кривая
, параболе
— кривая
. Точка
соответствует значению
, точка
— значению
точка
— значению
.
|
|
Приведем оценки погрешностей линейной и параболической интерполяции. Вначале предположим, что сетка равномерная (это имеет значение только для параболической интерполяции). Формулы (4.13), (4.14) и оценки (4.22), записанные для "окон" интерполяции, упрощаются, если ввести в рассмотрение новую переменную — фазу интерполяции и
Здесь учтено, что . Очевидно, что для
величина
изменяется в диапазоне
, а для
— в диапазоне
. Для получения мажорант в оценке (4.22) необходимо найти
и
. Преобразуя зависимости
и
к новой переменной
, получаем
и находим максимумы:
Таким образом, реализуются следующие оценки погрешностей линейной и параболической интерполяции, справедливых для соответствующих "окон":
(4.23) |
(4.24) |
где. При этом предполагается, что принадлежит классам функций
соответственно для линейной и параболической интерполяции. Таким образом, из оценок (4.23), (4.24) следует, что линейная интерполяция обеспечивает на частичном отрезке
второй порядок аппроксимации или погрешности по
, а параболическая (без осреднения) на двойном отрезке
— третий порядок. Данные пофешности, как отмечалось во введении и предыдущих разделах, сокращенно записываются как
и
. При реализации алгоритма с осреднением порядок параболической интерполяции становится равным
.