Определение. Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение связывающее независимые переменные , искомую функцию
и её частные производные
. (*)
().
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящих частных производных.
Определение. Решением дифференциального уравнения (*) в некоторой области называется любая функция
, такая, что подстановка этой функции и её производных в уравнение (*) обращает его в тождество в области
.
Замечание. Запись обозначает, что функция
принадлежит к классу непрерывных функций вместе с производными
в области
.
Рассмотрим несколько простейших примеров.
Пример 1. , где
Интегрируя, получим , где
– произвольная функция
.Это – общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 2. , где
Интегрируя по , получим
, где
– произвольная функция
.
Пример 3. , где
.
Интегрируем уравнение по
, получаем
, где
– произвольная функция
. Интегрируя теперь по
, получим
,
где – произвольная функция
. Или, обозначая
, окончательно будем иметь
.
Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций, а общее решение уравнения р -го порядка, вероятно, зависит от р произвольных функций.