Решим уравнение:
4х - 3·2х +2 = 0
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.
4х = (22)х = 22х
Получаем уравнение:
22х - 3·2х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!
Итак, пусть
2х = t
Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
t2 - 3t+2 = 0
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
t1 = 2
t2 = 1
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1:
t1 = 2 = 2х
Стало быть,
2х = 2
х1 = 1
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 1 = 2х
2х = 1
Гм... Слева 2х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:
|
|
1 = 20
2х = 20
х2 = 0
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
х1 = 1
х2 = 0
Это ответ.
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
2х = 7
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?", только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
x = log27
Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".
|
|
Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.
Начнём?
Решить показательные уравнения:
6х = 216
8х+1 = 0,125
Посложнее:
2х+3 - 2х+2 - 2х = 48
9х - 8·3х = 9
2х - 20,5х+1 - 8 = 0
Найти произведение корней:
23-х + 2х = 9
Получилось?
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):
70.13х + 130,7х+1 + 20,5х+1 = -3
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
25х-1 · 33х-1 · 52х-1 = 720х
Пример попроще, для отдыха):
9·2х - 4·3х = 0
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
х·3х - 9х + 7·3х - 63 = 0
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...