Дифференциал функции.
Пусть функция дифференцируема на отрезке
. Производная этой функции в некоторой точке
отрезка
определяется равенством
. Отношение
при
стремится к определенному числу
и, следовательно, отличается от производной
на величину бесконечно малую:
, где
при
. Умножая все члены последнего равенства на
, получим:
, где
- бесконечно малая величина. Произведение
называют дифференциалом функции и обозначают через
или
. Если функция
имеет производную
в точке
, то произведение производной
на приращение
аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом
:
или
(6)
Производные высших порядков. Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке
. Значение производной
зависят от
. Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции
. Производная от первой производной называется производной второго порядка от первоначальной функции и обозначается символом
или
.
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается через или
.
|
|
Производной -го порядка от функции
называется производная от производной
-го порядка и обозначается символом
или
:
.
Пусть , пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени
выражается формулой
; Как известно,
. Ускорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю:
или
но, так как
то
, т.е. ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.
Задание на СРС:
1. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля (корни производной), Лагранжа (конечные приращения), Коши (отношения приращения)).[1,2-с.163]
2. ИДЗ-стр.291-299, № 4-7.[3] (Срок сдачи по графику)
Задание на СРСП:
1. Правило Лопиталя.Формула Тейлора и Маклорена [1,2]
Контрольные вопросы:
- Производные неявной функции.
- Производные функции, заданной параметрически.
- Касательная к кривой; Нормаль к кривой.
- Дифференциал функции.
Задачи:
№1. Найти , если: а)
Ответ:
.
б) Ответ:
.
№2. Найти , если:
а) Ответ:
.
б) Ответ:
.
№3. Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: ,
при
. Сделать чертеж. Ответ:-1.
№4. Найти дифференциалы функции:
а) Ответ:
б) Ответ:
№5. Найти производные третьего порядка
а) Ответ:
б) Ответ:
№6. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке
Ответ: Касательная
; нормаль
.
№7. Дана функция . Найти dy -?
№8. Дана функция . Найти
.