Краткое содержание лекции

1. Действительные числа и переменные.

Множество R действительных чисел состоит из двух частей: множество Q рациональных чисел и множества I иррациональных чисел.Обычно действительные числа записывают в виде десятичных дробей. Десятичная запись рационального числа ± ―конечная, если знаменатель q несократимой дроби

делится без остатка только на числа 1,2,5, и бесконечная периодическая – в остальных случаях; десятичная же запись

иррационального числа всегда бесконечная и притом непериодическая. Так, например: =1,4142…, π =3,14159…, lg2=0,30103… и.т.д.

Принадлежать числа х множеству Х будем обозначать при помощи так называемого символа «включения»: х Є Х.

Любое число С, не меньшее всякого числа х, принадлежашего множеству Х, называется верхней границей множества Х:С≥ х,если хЄХ. Аналогично нижней границей множества Х называется любое число с, не большее всякого числа х, принадлежащего множеству с≤х, если хЄХ. Множества, имеющие верхнюю границу, называются ограниченными сверху, имеющие нижнюю границу ограниченными снизу. Множества, ограниченные и сверху и снизу, называются просто ограниченными.

2. Функция. Способы задания функции.

Величина у называется функцией переменной величины х, если каждому числовому значению х, принадлежащему некоторой области его изменения Х (хЄХ), соответствует единственное определенное числовое значение величины у. Переменную величину х называют независимой переменной, или аргументом. Область Х изменения аргумента х называется областью определения функции у, а множества числовых значений функции у, принятых его области определения Х, называется областью ее значений У.

Аналитическим способом называется способ задания функции при помощи формулы, позволяющей по каждому числовому значению аргумента х из области определения Х вычислить соответствующее ему числовое значение функции у.

Например: у=х +1, у= , у=3 , х +у .

Если зависимость между у и х задана формулой, разрешенной относительно у, т.е. имеет вид у =f(х), то соответствующая функция называется явной. Если формула не разрешена относительно функции, т.е. имеет вид F(x,y)=0, то функция называется неявной. Например: 2 х + у -1=0, х -у -а =0 и.т.д

Будем называть функцию у аргумента х, заданную с помощью равенств х=φ(t), у= φ(t), параметрически заданной.

Табличным способом задания называется способ задания функции с помощью таблицы, в которой ряд заранее выбранных числовых значений аргумента х, обычно расположенных в возрастающем порядке, поставлены в соответствие с числовыми значениями функции у. Графиком функции у =f(х) называется кривая, отнесенная к системе координат, точки которой имеют абсциссами значения х, относящиеся к области определения функции, а ординатами у, т.е.соответствующие этим значениям х значения функции.

3. Обратная функция.

Две функции у =f(х) и х=φ(у) называются взаимно обратными, если для каждой пары значений а,в, удовлетворяющих условию в=f(a), удовлетворяется также условие a=φ(в),а для каждой пары, удовлетворяющей условию a=φ(в), удовлетворяется условие в=f(a). Функция х=φ(у), называется обратной поотношению к функции у =f(х). Для того чтобы из функции у =f(х) получить обратную, следует в ней поменять местами аргумент и функцию. Функция у =φ[f(х) ] называется сложной функцией аргумента х, функции z =f(х) и у =f(z) – простыми функциями своих аргументов, z- промежуточный аргумент.

Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой = N и ЕÌR.

Она обозначается символом , где , или короче, . Число , зависящее от n, называется n – ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.

Примеры: а) Последовательность являет ся постоянной и состоит из равных чисел (единиц): ; б) . Для неё в) г) .

Определение. Число а, называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .

Соответствующее обозначение .

Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа а найдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 9.2). Это все или некоторые из членов .