Летом 1997 года корпорация XYZ (псевдоним) получила значительное количество наличных денег. Это отмечено в колонке 8/17/97 листинга изменения структуры их портфеля, представленного в Таблице 8.1. В портфеле было 54% акций Biotime (тикер BTIM), биотехнологической компании, котирующейся на NASDAQ. Это было связано с существующими и историческими связями между людьми из XYZ Corp. и BTIM. Служащие и руководство XYZ были очень хорошо осведомлены о положении дел в BTIM, и это давало им ощущение того, что они были особенно хорошо подготовлены, для того чтобы оценить компанию как объект инвестирования. Они пожелали и дальше держать значительную позицию по BTIM.
Портфель содержал акции Berkshire Hathaway, тикер BRK, впервые купленные в 1991 году.
(а) Ограничения.
Доктор Quaife определил Кэлли-оптимальный портфель для XYZ Corp. исходя из конкретных ограничений. Список потенциально возможных бумаг был ограничен следующим составом:BTIM, BRK, бумаги индексного фонда Vanguard 500 (S&P 500), казначейские векселя. Позиция шорт по казначейским векселям была использована в качестве демпфера на случай маржинальных долгов. Брокер XYZ кредитовал компанию по ставке на 2% дороже, чем было учтено в анализе. Простая САРМ модель предполагает, что инвестор рассматривает рыночный портфель (здесь замененный на индекс S&P 500 по хорошо известным причинам), а также использует заемные средства и кредитование. Как Quaife, так и автор убеждены, что BRK была и является превосходной альтернативой, а их знания о компании и долгий опыт работы с BRK подтверждают это.
|
|
Действия XYZ Corp. была подчинены маржинальным требованиям: 50% сначала и 30% далее, означающие, что портфель ценных бумаг формируется при условии, что первоначальный маржинальный долг (средства, одалживаемые у брокера) ограничен величиной 50% от стоимости бумаг, и что значение величины маржинального долга в дальнейшем не должно превышать 30% от стоимости портфеля, а также ценные бумаги должны продаваться при рассогласовании, чтобы обеспечить соблюдение требования в 30%-ом ограничении.
В дополнение к этому XYZ Corp. желает оставить значительную часть акций BTIM в своём портфеле.
(b) Анализ и результаты
Используя помесячные данные за период 3/31/92 – 6/30/97 (всего 63 месяца) Quaife определил средние, ковариации и т.д. представленные в Таблице 8.1.
Таблица 8.1 Статистики для логарифмов относительных помесячных изменений капитала за период 3/31/92 - 6/30/97.
Berkshire | BioTime | SP500 | T-bills | ||
Месячное среднее | 0.0264 | 0.0186 | 0.0146 | 0.0035 | |
Стандартное отклонение | 0.0582 | 0.2237 | 0.0268 | 0.0008 | |
Годовое среднее | 0.3167 | 0.2227 | 0.1753 | 0.0426 | |
Стандартное отклонение | 0.2016 | 0.7748 | 0.0929 | 0.0028 | |
Месячные ковариации | Berkshire | 0.0034 | -0.0021 | 0.0005 | 1.2E-06 |
BioTime | 0.0500 | -0.0001 | 3.2E-05 | ||
SP500 | 0.0007 | 5.7E-06 | |||
T-bills | 6.7E-07 | ||||
Месячные корреляции | Berkshire | 1.0000 | -0.1581 | 0.2954 | 0.0257 |
BioTime | 1.0000 | -0.0237 | 0.1773 | ||
SP500 | 1.0000 | 0.2610 | |||
T-bills | 1.0000 |
Обратим внимание, что среднее у BRK выше, а стандартное отклонение ниже, чем у BTIM, следовательно, мы ожидаем, что эта бумага будет выделена дальнейшим анализом. Но отметим также, что имеется отрицательная корреляция с BTIM, которая предполагает, что добавление в портфель некоторого количества BTIM к уже имеющейся BRK может оказаться выгодным.
|
|
Используя статистику из Таблицы 8.1, Quaife определил нижеследующие оптимальные портфели соответствующие разным условиям заимствования.
Таблица 8.2 Составы оптимальных портфелей для различных посылок об условиях заимствования.
Доля ценной бумаги | |||
Наименование | Без заимствования | 50% заемных | Неограниченное заимствование |
Berkshire | 0.63 | 1.50 | 6.26 |
BioTimc | 0.37 | .50 | 1.18 |
S&P 500 | 0.00 | 0.00 | 12.61 |
T-bills | 0.00 | -1.00 | -19.04 |
Коэффициент роста портфеля | |||
Среднее | 0.36 | 0.62 | 2.10 |
Стандартное отклонение | 0.29 | 0.45 | 2.03 |
Как и ожидалось, BRK важнее и предпочтительнее, чем BTIM, но добавление некоторого количества BTIM дает лучший вариант.
Если предполагается использование неограниченного размера заемных средств, то было бы неразумным выбрать соответствующий этому варианту портфель в Таблице 8.2.
Различные положения, лежащие в основе этого анализа являются только лишь аппроксимациями разных степеней точности: цены на фондовом рынке не меняются непрерывно; пересмотр состава портфеля не может быть непрерывным процессом; стоимость транзакций не равна 0; ставка по заемным средствам больше чем доходность казначейских векселей; в анализе должна использоваться величина прибыли после налогообложения; процесс, формируемый потоком доходностей по бумагам не стационарен, и наши точечные статистические оценки в Таблице 8.1 неустойчивы. Мы также отметили раньше, что так как чрезмерные размеры ставок более опасны, чем недостаточные, использование «дробного Келли» представляется предпочтительным, как в большей степени отражающего неопределенности.
Фактически использованные данные относятся к периоду 1982-1997 гг., который был сильнейший бычим рынком за всю историю. Мы могли бы ожидать снижение доходностей к направлению к средним, поэтому средние в Таблице 8.1 вероятно являются переоцененными для ближайшего будущего. Ряды данных неизбежно коротки из-за ограниченности информации по BTIM, что вносит дополнительную неопределенность. Для оценки чувствительности Quaife использовал традиционные (среднее, стандартное отклонение) оценки для относительных изменений цен (не для их логарифмов): у BRK (1,15;0,20), у BTIM (1,15;1,0), а у S&P 500 (1,125;0,204) за период 1926-95 по информации из Ibbotson (1996), а также корреляции из Таблицы 8.1. Результат - доли 1,65; 0,17; 0,18 и –1,00 для BRK, BTIM, S&P 500 и T-bills. Средняя величина коэффициента роста была 0,19, а стандартное отклонение 0,30.
(с) Рекомендации и результат.
На дату 8/17/97 совету директоров компании XYZ Corp. было рекомендовано формирование портфеля с использованием 50% маржинального кредитования и могло бы быть осуществлено немедленно. Совет директоров выбрал бездействие. На 10/9/97 (как показало время, была хорошая возможность продать по выгодной цене) они продали некоторое количество BTIM и оставили эти средства в наличности (что неправильно).
В заключении 2/9/98 после обсуждения как с Quaife, так и с автором они купили 10 BRK (в связи с чем получая почти $140000 к 3/31/98, как и произошло). В Таблице 8.3 представлены реальные результаты инвестиционной политики, которая привела к росту на 73%. Таблица 8.4 показывает, что бы произошло при использовании рекомендованной курса без перетряски портфеля и с одной перетряской на дату 10/6/97. Доходность составила бы 117,6% и 199,4% соответственно. Прирост прибыли для этих стратегий над результатами субоптимальной политики совета директоров выражается в дополнительных $475935 и $1359826 соответственно.
|
|
Оптимальная стратегия показывает три важных особенности в этом примере: применение кредитного плеча, определение первичной структуры портфеля, и возможная «перетряска» (изменение состава портфеля) через какое-то время. Каждая из этих особенностей потенциально важна в определении конечного результата. Возможное воздействие непрерывной во времени перетряски портфеля с целью достижения максимальной прибыли продемонстрировано в Thorp and Kassouf (1967), Appendix A, The Avalanche Effort.
Размеры существенных убытков от субоптимальной стратегии были гораздо больше, чем ожидались, потому что цены BRK и BTIM удивительно сильно выросли. За 0,62 года, BRK вырос на 60,4%, а BTIM – на 62,9%. Это говорит нам, что (не типично) в отсутствии перетрясок первоначальные относительные пропорции BRK и BTIM не имели большого значения на тот период времени. Однако, перетряска портфеля для изменения относительных пропорций BRK и BTIM было важно, как это было показано в случае продажи некоторого количество BTIM по результатам фактической инвестиционной политики. Перетряска была также важна для регулировки величины заемных средств, когда, например, в нашем случае цены быстро росли.
Таблица 8.2 показывает, что мы могли бы обычно ожидать большую прибыль с использованием 50% заемного капитала, чем без него. Мы ожидаем разницу между значениями медиан распределений портфелей в размере $1080736[exp(0,62*0,62)- exp(0,36*0,62)]=$236316 или 21,9%, который является все еще большим.
(d) Теория портфеля ценных бумаг.
Рассмотрим сперва неограниченный случай с безрисковой бумагой (казначейские векселя) с долей в портфеле f0 и n ценными бумагами с долями в портфеле f1,.., fn. Предположим, что ставка доходности по безрисковому активу r, и, для простоты обсуждения, такое же значение примем для ставок заимствования, кредитования и ставки уплачиваемой при открытии коротких позиций. Пусть C=(sij)- ковариационная матрица с элементами sij, i, j=1,..,n представляющие собой ковариации между i и j бумагами, а M=(m1,m2,..mn)T вектор строка, такой что mi, i=1,..,n будут уровни смещения i-ой бумаги.
|
|
Тогда портфель удовлетворяет соотношениям
где FT=(f1,..fn) со знаком T означает транспонирование, а R – вектор-столбец (r,r,..r)T длиной n.
Тогда наши предыдущие формулы и результаты для одной бумаги и одного безрискового актива приводят к g¥(f1,..fn)=m-s2/2. Это стандартная задача оптимизации квадратичного программирования. Используя (8.1) и решая одновременные уравнения ∂g¥/∂ fi=0, i=1,..,n, мы получаем
где для удовлетворения требования единственности решения мы требуем существования С –1, то есть detC≠0. Когда все бумаги не коррелированны, то С диагональна и мы получаем f *=(mi – r)/sii или f *=(mi – r)/si2, что соответствует (7.3) для n=1.
Примечание: BRK эмитировала новый тип непривилегированных акций с тикером BRK.B c одновременным изменением символа для старого типа на BRK.A. Одна акция BRK.A может быть конвертирована в 30 акций BRK.В в любое время, но не наоборот. Право голоса BRK.В имеет меньшее значение, а также отсутствуют право участия в назначении величины ежегодных благотворительных выплат. Мы вслед за рынком рассматриваем эти различия как незначительные, и согласно этому А торгуется по цене примерно в 30 раз превышающей котировку В.
Если бы отношение было всегда в точности 30 к 1, а также обе эти бумаги были бы включены в анализ, то они имели бы одинаковое значения ковариаций с другими бумагами, так что С=0 и C-1 не существует.
Если существует ограничение на используемый маржинальный капитал с размером доли q, 0 ≤ q ≤ 1, тогда у нас появиться дополнительное ограничение
Подмножество с размерностью n замкнуто и ограничено.
Если ставка по заемным средствам для обеспечения портфеля rb=r+eb, eb≥ 0, а ставка комиссии по коротким позициям rs=r+es, es≥ 0, тогда m в уравнении (8.1) изменяется. Обозначим x+=max(x,0) а, x -=max(0,-x), так что x=x+- x – для всех x. Примем f +=f1++…+fn+ за долю портфеля размещенную в длинных позициях. И пусть f -=f1-+…+fn- - это доля портфеля размещенная в коротких позициях.
Случай 1. f +≤ 1
Случай 2. f +>1