Дальнейшее изложение будем вести для функций двух переменных, как более наглядное, хотя результаты естественным образом обобщаются на случай трех и более переменных.
Число А называется пределом функции при
, если для любого
, найдется
, такое, что для всех точек
, отстоящих от точки
на расстояние, меньшее d,
, выполняется неравенство:
. Обозначается:
.
Пример: 6) Найти предел , 7) Доказать, что
не существует.
Решение: 6) Обозначим , тогда условие
Û
.
Предел запишется в виде: =
= . Здесь применили правило Лопиталя.
7) Будем приближаться к точке (0,0) по прямым (k – const.). Тогда:
.
Как видим, значение предела зависит от углового коэффициента прямой k. Например, при значениях k = 1 и k = 2 предел будет разный (соответственно и
). Что и доказывает, что предел не существует.
Функция непрерывна в точке
, если она: 1) определена в точке
; 2) имеет конечный предел при
,
; 3) этот предел равен значению функции в точке
, то есть
Говорят, что функция непрерывна в некоторой области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.
|
|