Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом:
(для векторов плоскости);
(для векторов пространства).
Пример 9
а) Проверить ортогональность векторов: и
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки и , если
Решение:
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение:
, следовательно,
б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости (в чём сходство и различия вектора и отрезка, я очень подробно разъяснил на первом уроке). Речь идёт об обычных отрезках, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:
Вычислим их скалярное произведение:
, значит, отрезки и не перпендикулярны.
Обратите внимание на два существенных момента:
– В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
– В окончательном выводе «между строк» подразумевается: «если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными». Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках: «значит, отрезки и не перпендикулярны».
|
|
Ответ: а) , б) отрезки не перпендикулярны.
Пример 10
Даны четыре точки пространства . Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые:
а) ;
б) .
Это задача для самостоятельного решения. В условии требуется проверить перпендикулярность прямых. А решается задача снова через векторы по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно – если удастся доказать перпендикулярность векторов, то из этого автоматически будет следовать перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых.
Полное решение и ответ в конце урока.
Мощь аналитической геометрии – в векторах. Так, в рассмотренных примерах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.
Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачу, которая время от времени встречается на практике:
Пример 11
При каком значении векторы будут ортогональны?
Решение: По условию требуется найти такое значение параметра , чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства ортогональны тогда и только тогда, когда .
Дело за малым, составим уравнение:
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
|
|
Решаем простейшее линейное уравнение:
Ответ: при
В рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторы подставляем полученное значение параметра :
И находим скалярное произведение:
– да, действительно, при векторы ортогональны, что и требовалось проверить.
Пример 12
При каком значении скалярное произведение векторов будет равно –2?
Это простенький пример с векторами плоскости. Для самостоятельного решения.
Немного усложним задачу: