Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов

Напомним, что самосопряженным линейным оператором в евклидовом пространстве V называется оператор A, удовлетворяющий соотношению (Ax, y) = = (x, Ay), " x, y Î V. Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе является симметрической.

Следующие теоремы устанавливают важные свойства собственных векторов самосопряженных операторов.

Теоремa 12.3. Собственные векторы самосопряженного оператора (симметрической матрицы), соответствующие различным собственным значениям, попарно ортогональны.

Доказательство. Пусть x ¹ и x ¹ – собственные векторы самосопряженного оператора A, а l ₁ и l ₂, где l ₁ ¹ l ₂, – соответствующие им собственные значения. Тогда l ₁ x ¹ = Ax ¹ и l ₂ x ² = Ax ². Умножим скалярно первое равенство на x ² и получим l ₁(x ¹, x ²) = (Ax ¹, x ²) = (x ¹, Ax ²) = l ₂(x ¹, x ²) Þ (l ₁ – l ₂)(x ¹, x ²) = 0. Поскольку l ₁ ¹ l ₂, то (x ¹, x ²) = 0 Û x ¹ ^ x ².¨

Теоремa 12.4 (о полноте системы собственных векторов). У каждого самосопряженного линейного оператора A в n -мерном евклидовом пространстве V существует n попарно ортогональных собственных векторов. Соответствующие им собственные значения являются действительными числами.

Доказательство. Для простоты ограничимся случаем n = 2. Покажем, что у симметрической матрицы собственные значения – действительные числа. В самом деле, характеристическое уравнение симметрической матрицы А = , где = , имеет вид

| А – lЕ | = 0,

или . Корни его

l _{1, 2} = ,

очевидно, являются действительными числами. Если подкоренное выражение не равно нулю, то l ₁ ¹ l ₂ и по теореме 12.3 собственные векторы, соответствующие собственным значениям l ₁ и l ₂, ортогональны. Если же подкоренное выражение равно нулю, т. е. ( – )² + 4 = 0, то = , = = 0 и l ₁ = l ₂ = , и матрица имеет вид

.

Собственными векторами этой матрицы, как не трудно проверить, являются все ненулевые векторы пространства R ². Базис этого пространства образуют ортогональные векторы е ¹ = (1, 0) и е ² = (0, 1).¨