Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Определение 15.2. Квадратичная форма называется канонической (или имеет канонический вид), если все a_ij = 0 при i ¹ j. Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Очевидно, что канонической квадратичной форме соответствует диаго-нальная матрица

= diag (а ₁₁, а ₂₂,…, а_nn).

Нахождение канонического вида квадратичной формы называется приведением формы к каноническому виду.

Теоремa 15.1. Любая квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования может быть приведена к каноническому виду

, (15.3)

где l ₁, l ₂,…, l_n – собственные значения матрицы квадратичной формы.

Доказательство. Так как матрица А квадратичной формы является сим-метрической, то в силу теоремы 14.2 для нее существует ортогональная матрица Т, такая, что выполнено равенство L = Т ^* АТ. Пусть x = Т y, y = (у ₁, у ₂,…, у_n), где у ₁, у ₂,…, у_n – это координаты x в новом базисе, состоящем из нормированных собственных векторов матрицы А. Тогда из соотношения (15.2) получаем

Q (x ₁, x ₂,…, x_n) = (x, А x) = (T y, А (Т y)) = (y, (Т ^* АТ) y) = (y, L y) = , y = Т ^* x. (15.4)

Таким образом, квадратичная форма в базисе, состоящем из ортонорми-рованных собственных векторов матрицы А, приводится к каноническому виду. Алгоритм приведения ее к каноническому виду заключается, очевидно, в диагонализации симметрической матрицы квадратичной формы и последующей записи квадратичной формы в виде (15.3).¨

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Q (x ₁, x ₂, x ₃, x ₄) = .

Решение. Составим соответствующую этой форме матрицу

.

Характеристическое уравнение имеет корни l ₁ = 2, l ₂ = l ₃ = l ₄= – 1. Для l ₁ = 2 и l ₂ = – 1 находим собственные векторы (см. аналогичный пример 1 из §12.2) v ¹ = (1, 1, 1, 0) и v ² = (0, – 1, 1, 0) соответственно. Собственные векторы v ³ и v ⁴, соответствующие собственному значению l ₃ = l ₄= – 1, найдем из следующих соображений: по теореме 12.4 собственные векторы v ¹, v ², v ³, v ⁴ можно выбрать попарно ортогональными. Если v = (v ₁, v ₂, v ₃, v ₄) – произвольный вектор, ортогональный v ¹ и v ², то для определения его координат получаем систему уравнений

общее решение которой имеет вид

v = ,

где v ₂ и v ₄ – произвольные действительные числа.

Таким образом, любой вектор v, ортогональный v ¹ и v ², является линейной комбинацией векторов v ³ = (– 2, 1, 1, 0) и v ⁴ = (0, 0, 0, 1). Попарная ортогональность векторов v ¹, v ², v ³, v ⁴ очевидна. Итак, найдены все четыре попарно ортогональных собственных вектора матрицы A. Нормируя их, получим векторы

u ¹ , u ² , u ³ , u ⁴ ,

которые являются столбцами матрицы ортогонального преобразования Т, т. е.

.

Тогда в силу формулы (15.4) квадратичная форма Q в базисе u ¹, u ², u ³, u ⁴ приводится к каноническому виду

Q (y ₁, y ₂, y ₃, y ₄) = 2 y ₁² – y ₂² – y ₃² – y ₄².·