Устойчивость динамических систем
КУРСОВАЯ РАБОТА
Студента 1 курса 121 группы
направления 011800 – Радиофизика физического факультета
Гарькавого Андрея Николаевича
Научный руководитель
профессор, доктор физ.-мат. наук, доцент ________________ В.С. Анищенко
Зав. кафедрой
доктор физ.-мат. наук, профессор ________________ В.С. Анищенко
Саратов 2015
СОДЕРЖАНИЕ
1.Введение.
2. Понятие динамической системы. Классификация динамических систем.
3. Линейный анализ устойчивости.
4. Бифуркации динамических систем. “Мягкие” и “жесткие” бифуркации.
5. Заключение.
Введение
Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — устойчивость - способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии и грубость - сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; « грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»
|
|
Понятие динамической системы.
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Пространство всех возможных состояний динамической системы называется фазовым пространством системы. Любому состоянию динамической системы соответствует точка в фазовом пространстве, при том двум различным состояниям не может соответствовать одна и та же точка.
Так же все динамические системы делятся на две большие группы - консервативные и диссипативные. В консервативных системах начальный запас энергии остаётся постоянным, т.е. энергия ни на что не затрачивается и ниоткуда не поступает. Отличительной чертой консервативно системы является то, что фазовый объём сохраняется под действием оператора эволюции. Если в системе имеются потери энергии или наоборот подкачка, то такая система является диссипативной. Диссипация энергии эквивалентна сжатию фазового объёма под действием оператора эволюции.
|
|
Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (ко- ординаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.