а) Випадок механічної системи з нелінійно-в'язким тертям. Метод енергетичного балансу.
Диференціальне рівняння руху має вигляд
. (3.7)
Наближений розв’язок рівняння вимушених коливань можна знайти методом енергетичного балансу, суть якого полягає в заміні нелінійної сили еквівалентною в енергетичному відношенні лінійною силою . Коефіцієнт визначається з умови рівності робіт, що здійснюються обома силами за один період, тобто
. (3.8)
Більше того, наближено приймаємо, що усталений розв’язок (3.7) як і у випадку лінійного тертя, має вигляд
. (3.9)
Записуючи рівняння (3.8) для напівперіоду (оскільки швидкість не змінює знак), і підставляючи (3.9) в (3.8), знаходимо
, (3.10)
де .
Якщо взяти для сили тертя нелінійний закон виду
,
то (3.10) дає значення
, (3.11)
де – ейлеров інтеграл другого роду.
Звертаючись до відомого розв’язку лінійної задачі (див. 3.1) знаходимо рівняння для амплітуди
; (3.12)
тут . Задаючись тепер конкретним значенням нелінійності “ ”, “ ”, можна побудувати при різних сімейство резонансних кривих.
б) Контур з нелінійним загасанням. Метод гармонійного наближення.
Схема контуру представлена на рис. 3.7.
Рисунок 3.7 – Схема контуру з нелінійним загасанням
Нехай
.
Тоді рівняння, що описує поведінку контура, в безрозмірному вигляді прийме вигляд
, (3.13)
де , , , , , , . У гармонійному наближенні розв’язок шукаємо у вигляді
. (3.14)
З (3.13) отримуємо систему для визначення , ,
, (3.15)
(3.16)
(3.17)
де .
Перше рівняння (3.15) дає величину постійної напруги зміщення на ємності за рахунок несиметрії нелінійного опору. Рівняння (3.16) і (3.17) дозволяють знайти амплітуду вимушених коливань
або
. (3.18)
Задаючись параметрами впливу і , сімейство резонансних кривих отримуємо з (3.18).
Залишаючи питання побудови резонансних кривих на самостійне дослідження, зазначимо лише на вимогу обережності в передбачуваних висновках про вимушені коливання у нелінійних системах внаслідок прийнятих припущень, покладених в основу знайдених розв’язань.
Наприкінці даного розділу вкажемо ще на один метод (метод повільно мінливих амплітуд) аналізу поведінки слабонелінейних систем при гармонійному зовнішньому впливі. З основами методу читач може ознайомитися у відомих навчальних посібниках [1-4].
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 3
1. Яким чином можна знайти час встановлення коливань?
2. Час розгойдування системи більше за наявності або відсутності опору? Відповідь обгрунтуйте.
3. Чи залежить частота вимушених коливаннь від характерис-тик коливальної системи?
4. Отримайте розв’язок вимушених коливань системи без дисипації у разі резонансу.
5. Якою особливістю володіє залежність амплітуди вимушених коливань від частоти впливу, що збурює рух в нелінійних системах?