,
, то
— нильпотентный оператор индекса 3. Строим подпространства
.
,
Находим систему векторов, дополняющую базис до базиса
. Она будет состоять из одного вектора, так как
. Вектор
и, значит, будет искомым. Находим
. Так как
, то вектор
дополняет базис
до базиса
. Находим
.
. Так как
, то ищем вектор
такой, что система
дополняет базис
до базиса
, т.е. такой, что система
является базисом
. Очевидно, вектор
является искомым. Следовательно, система
- искомый канонический базис. Матрица
оператора
в этом базисе равна
.
Иногда достаточно знать матрицу нильпотентного оператора в каноническом базисе, не находя самого базиса. Ответ на такой вопрос дает
Теорема 2. Пусть — жорданова нормальная форма матрицы нильпотентного оператора
— число всех клеток Жордана, стоящих “на диагонали” матрицы
— число всех клеток Жордана порядка
, стоящих “на диагонали” матрицы
.
Тогда
1. .
2.
3. Максимальный размер клеток Жордана матрицы равен индексу нильпотентности оператора
.
Доказательство. Заметим, что в жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора на диагонали стоят собственные значения этого оператора вместе с их кратностями и только они. Так как в каноническом базисе (3), построенном в доказательстве теоремы I, матрица оператора жорданова и состоит из клеток Жордана с нулем на диагонали, то все собственные значения оператора
равны нулю. Поэтому матрица
содержит лишь клетки Жордана с элементом 0 на диагонали, т.е.
|
|
.
Очевидно, ранг матрицы равен
. Так как ранг линейного оператора совпадает с рангом его матрицы, то
. Отсюда
. Заметим, что дефект нильпотентного оператора равен максимальному числу линейно независимых собственных векторов этого оператора.
Далее, непосредственные вычисления показывают, что
,
,
Если теперь - максимальный порядок клеток Жордана матрицы
, то
. В силу равносильности равенств
и
получаем, что
совпадает с индексом нильпотентности оператора
. Следовательно, матрица
подобна
Очевидно, .
Тогда для
.
Если , то
.
Значит,
.
и т.д.
Равенства и
доказывают утверждение 2 и вместе с ним теорему.
Следствие. Жорданова нормальная форма матрицы нильпотентного оператора определена однозначно с точностью до порядка следования диагональных клеток.
Обратимся к примеру, рассмотренному выше.
Так как индекс нильпотентности равен
, то жорданова нормальная форма
матрицы
содержит по меньшей мере одну клетку Жордана порядка
. В силу того, что порядок матрицы равен
, такая клетка будет точно одна. Следовательно,
будет содержать еще одну клетку порядка I, т.е.
.
Если заранее известно, что - матрица нильпотентного оператора (критерий нильпотентности оператора будет получен ниже) и неизвестен индекс нильпотентности, то можно использовать в решении утверждения I и 2 теоремы 2. В нашем случае имеем: число
всех диагональных клеток матрицы
равно
. Число
диагональных клеток первого порядка равно:
|
|
.
Следовательно, будет содержать еще одну клетку порядка 3, так как порядок матрицы
равен 4.
Замечание. Для , достаточно знать количество клеток Жордана в жордановой нормальной форме, для
этого недостаточно только в случае, если количество клеток равно 2. В этой ситуации достаточно выяснить
или нет: если
, то жорданова нормальная форма состоит из двух клеток второго порядка, если
, то жорданова нормальная форма состоит из одной клетки первого порядка и одной — третьего.
§ 3. Существование канонического базиса относительно произвольного линейного оператора.
Пусть — линейный оператор
-мерного линейного пространства
над полем
, а
— полином над этим полем. Если
, то
— называется аннулирующим линейный оператор
полиномом. Покажем, что существует аннулирующий оператор
ненулевой полином. Так как пространство всех линейных операторов пространства
имеет размерность
, то система
линейна зависима. Поэтому для некоторых элементов
поля
, не все из которых равны нулю
.
Тогда полином является ненулевым аннулирующим оператор
полиномом.
Например, характеристический полином линейного оператора, как будет показано ниже, является аннулирующим этот оператор полиномом (т. Гамильтона-Кэли).
Теорема 3. Пусть аннулирующий полином
разлагается в произведение
попарно взаимно простых множителей
.
Тогда
.
Доказательство проведем для случая . В общем случае теорема доказывается аналогично.
В силу взаимной простоты полиномов и
существуют в
такие полиномы
и
, что
.
Тогда (1)
Далее, для любого в силу (1) имеет место равенство
.
Покажем, что
,
.
В самом деле,
Аналогично .
Тем самым доказано равенство
.
Если теперь , то
,
и, следовательно,
.
Теорема доказана.
Замечание. Легко убедиться, что подпространства инвариантны относительно
и ограничение
на
является нулевым оператором.
Пусть теперь аннулирующий полином
имеет вид
(2)
где при
. Тогда по предыдущей теореме
.
Как отмечено выше, подпространства инвариантны относительно
и ограничение
на
является нулевым оператором, т.е. ограничение
на
— нильпотентно
. В каждом ненулевом пространстве
согласно теореме I можно выбрать канонический базис относительно ограничения
на
, в котором матрица этого ограничения имеет вид
В этом же базисе матрица ограничения на
будет равна
. Матрица линейного оператора
в базисе, который получается объединением всех канонических базисов, построенных в ненулевых подпространствах
, приобретает вид
.
Тем самым теорема доказана.
Теорема 4. Относительно любого линейного оператора пространства
, аннулирующий полином которого имеет вид (2) (в частности, для любого линейного оператора конечномерного комплексного пространства) существует канонический базис.
§ 4. Минимальный полином. Теорема Гамильтона-Кэли.
Пусть линейный оператор пространства
. Полином наименьшей степени среди аннулирующих
полиномов., старший коэффициент которого равен I, называется минимальным полиномом линейного оператора
.
Пусть — минимальный полином
. Покажем, что полином
аннулирует
тогда и только тогда, когда он делится на
.
Представим в виде
,
где — остаток от деления
на
. Тогда
(I)
Так как , то из равенства (I) следует
. Поэтому
. Необходимость доказана.
Достаточность очевидна.
Отсюда следует, что минимальный полином линейного оператора определен однозначно.
В самом деле, если и
- минимальные полиномы линейного оператора, то в силу только что доказанного свойства они делят друг друга и, значит, совпадают.
|
|
Приведем определение минимального полинома матрицы.
Пусть - квадратная матрица над полем
.
. Если
, то
называется полиномом, аннулирующим матрицу
. Равенства
и
равносильны, если
— линейный оператор с матрицей
в некотором базисе. Поэтому существуют ненулевые полиномы, аннулирующие матрицу
. Выберем среди них полином наименьшей степени со старшим коэффициентом I. Такой полином называется минимальным полиномом матрицы
. Так как множество полиномов, аннулирующих матрицу
, совпадает с множеством полиномов, аннулирующих
, то минимальный полином линейного оператора совпадает с минимальным полиномом его матрицы. Следовательно, минимальный полином матрицы обладает теми же свойствами, что и минимальный полином линейного оператора, а также минимальные полиномы подобных матриц равны.