Рассмотрим дискретную случайную величину, заданную рядом распределения . Оценим вероятность того, что отклонение случайной величины X от M(X) по абсолютной величине не превосходит
.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем 1 - D(Х)/
:
P (| X— М (X) | < )
1 — D (Х)/
.
Так как события, состоящие в осуществлении неравенств
и
, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице
.
Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности .
Напишем выражение дисперсии случайной величины X:
.
Отбросим те слагаемые, у которых (для оставшихся слагаемых
), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
где