Ч. т. д

Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида, который решил её другим способом. С этим решением вы можете познакомиться после урока, прочитав материалы «раскладушки».

Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это равенство двух отношений. Вам, я думаю, интересно узнать численное значение этих отношений. Сейчас мы его найдём.

Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а, а длину отрезка АС – за х, то длина отрезка СВ будет а – х.

(Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).

Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём численное значение, например, отношения

По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде

Раскроем скобки и все слагаемые перенесём в левую часть:

Решать получившееся квадратное уравнение относительно х к доске пойдёт …

Так как, а – это длина отрезка, поэтому D > 0, уравнение имеет 2 корня.

Напоминаю, что мы находим значение .

Получилось два значения х, но х – это длина отрезка, т.е. число положительное.

Проверим, удовлетворяет ли этому условию? ( не удовлетворяет условию, так как меньше нуля).

Удовлетворяет ли этому условию?

> 1, а > 0.

Значит,

Находим отношение

Чтобы вы лучше представили это число, вычислите значение этого выражения с помощью микрокалькулятора с точностью до сотых.

=?.

Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62. Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой?. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях. О творениях Фидия будет рассказано чуть позже.

Итак, вы узнали, что такое золотое сечение и как разделить произвольный отрезок в золотом отношении.

Так когда же некоторая точка С производит золотое сечение отрезка AD? (Точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

На уроках геометрии мы изучили равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой треугольник.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

А сейчас проведём психологический опыт.

Начертите на альбомном листе любой прямоугольник, но какой вам больше нравиться(!).

Найдите отношение ширины прямоугольника к его длине. Чему равно получившееся отношение?

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число?, называется золотым прямоугольником.

Давайте начертим такой прямоугольник в тетради. Для этого мы не будем новый отрезок делить в золотом отношении, а воспользуемся результатом задачи на построение. Ширину прямоугольника возьмём равную отрезку СВ, а длину – АС. Прямые углы начертим с помощью чертёжного треугольника.

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.

Возьмём, например, наш учебник геометрии. Найдите отношение ширины к длине. Чему равно получившееся отношение?

?? 0,666…

Какой можно сделать вывод? (Прямоугольник близок к золотому прямоугольнику.)

А теперь продолжим работу с золотым прямоугольником.

В нём построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений.

Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Сделаем это с помощью циркуля следующим образом…

Мы получили кривую, которая является золотой спиралью. Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль.

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа

налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21. Отношение 13/21 равно j. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу j.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

Из всего сказанного можно сделать выводы:

во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;

во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Пропорции головы человека.

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В, делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС, в золотом отношении.

Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС, т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC.

Перейду к пропорциям тела.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.