Показатели вариации

При изучении совокупности явлений нельзя ограничиться только нахождением средней величины. Средние величины дают обобщенную характеристику варь­ирующего признака, показывают типичное для изучаемой сово­купности. Однако в средней величине не проявляется степень колеблемости отдельных значений признака (вариант) вокруг среднего уровня. В зависимости от однородности в совокупно­сти колеблемость признаков может быть большой или, наобо­рот, малой. Поэтому возникает необходимость в измерении ва­риации отдельных вариантов по отношению к средней вели­чине.

Для большей убедительности приведем два ряда набора чисел:

I ряд —6, 10, 14, 26, 34;

II ряд—14, 16, 18, 20, 22.

Определим среднюю арифметическую (х_а) - для 1-го ряда (6+10+14+26+34) / 5 = 18, для 2-го ряда (14+16+18+20+22) / 5 = 18, таким образом, два совершенно различных ряда имеют одну и ту же среднюю. Отсюда следует, что эти средние не характеризуют внутреннего содержания совокупности.

В результате наглядно видно, что в первом ряду колебле­мость признака больше, чем во втором.

Для измерения пестроты, колеблемости (вариации) изучае­мого признака в данной совокупности в статистике применя­ются различные показатели.

1. Размах колебаний (R) — это разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

R = Хmax – Xmin

Для предыдущего примера размах вариации составит:

1- й ряд 34- 6 = 28; 2- й ряд 22-14 = 8

Таким образом, можно сделать вывод о том, что первый ряд распределения имеет значительно большую колеблемость ва­риант, чем второй ряд распределения.

Этот показатель дает только общее, внеш­нее представление о колеблемости, о пределах вариации, но не характеризует степень колебаний данного признака в этих пре­делах. Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает размера отклонений всех вариант.

2. Сред­нее линейное отклонение () - средняя величина из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической. Поскольку сумма всех отклонений от средней равна нулю, разности берутся по модулю.

а) Для несгруппированных данных

б) Для сгруппированных данных

3. Дисперсия признака (σ²) - с редний квадрат отклонения, или дисперсия, представляет собой среднюю арифметическую из квадра­тов отклонений вариант от их средней арифметической величины. Единиц измерения не имеет.

_

∑(x_i – x)²

а) Для несгруппированных данных σ²=-------------

n

_

∑(x_i – x)²* f

б) Для сгруппированных данных σ²= -----------------

∑ f

4. Среднее квадратическое отклонение (σ) – корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от средней величины

5. Коэффициент вариации (V) - отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической